Back to the topics list

подібність у трикутниках

Подібності між фігурами

Дві фігури називаються подібними, якщо вони мають однакову форму, але не обов’язково однакові розміри. На наступних малюнках зображені подібні кола та подібні трикутники.

Подібність трикутників: два трикутники, у яких три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам іншого трикутника, а всі співвідношення між мірами відповідних сторін рівні, називаються подібними.

Згідно з визначенням, трикутник ABC подібний до трикутника PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) якщо:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Отже, подібність трикутників вимагає двох речей:

• Відповідні кути повинні бути рівними
• Відповідні сторони повинні бути пропорційними

ТРИ ТЕСТИ НА ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ

1. Кут-Кут-Кут ( \(AAA\) ) АКСІОМА ПОДІБНОСТІ

Якщо два трикутники мають дві пари рівних кутів, то їхні відповідні сторони пропорційні. У трикутнику ABC і \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , тоді \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , тобто
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Сторона-кут-сторона ( \(SAS\) ) АКСІОМА ПОДІБНОСТІ

Якщо два трикутники мають пару відповідних рівних кутів і сторони, включаючи їх, пропорційні, то трикутники подібні.

Якщо в трикутнику ABC і \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) і \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) тоді \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. АКСІОМА ПОДІБНОСТІ БІК-БІК-БІК ( \(SSS\) )

Якщо у двох трикутників відповідні пари сторін пропорційні, то трикутники подібні. Якщо два трикутники ABC і \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) тоді \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Теорема 1

Пряма лінія, проведена паралельно одній стороні трикутника, пропорційно ділить дві інші сторони. І навпаки, якщо пряма пропорційно ділить будь-які дві сторони трикутника, то ця пряма паралельна третій стороні.

У \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) тоді

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Теорема 2

Площі подібних трикутників пропорційні квадратам відповідних сторін.

\(\displaystyle \frac{\textrm{площа }\triangle ABC}{\textrm{площа }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Приклад 1: В \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Якщо AP/ \(PB\) = 1/2 і AQ = 2 см. Знайти QC.

Оскільки PQ паралельний BC, отже
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Приклад 2: Трикутник \(\triangle ABD, \triangle ACD \) подібні. BD = 2 см і AB = 3 см. Якщо площа трикутника \(\triangle ABD \) дорівнює 2 см ² , обчисліть площу \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{площа }\triangle ABD}{\textrm{площа }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Площа с }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Площа с }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)