Back to the topics list

مثلث میں مماثلت

اعداد و شمار کے درمیان مماثلتیں۔

دو اعداد و شمار کو یکساں کہا جاتا ہے اگر ان کی شکل ایک جیسی ہو لیکن ضروری نہیں کہ ایک ہی سائز ہوں۔ درج ذیل اعداد و شمار ملتے جلتے دائرے اور ملتے جلتے مثلث دکھاتے ہیں۔

مثلث کی مماثلت: دو مثلث جن میں ایک مثلث کے تین زاویے بالترتیب دوسرے مثلث کے تین زاویوں کے برابر ہوتے ہیں اور مساوی کناروں کی پیمائش کے درمیان تمام تناسب کو یکساں کہا جاتا ہے۔

تعریف کے مطابق، مثلث ABC مثلث PQR سے ملتا جلتا ہے، \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) اگر:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

لہذا، مثلث کی مماثلت دو چیزوں کی ضرورت ہے:

• متعلقہ زاویے برابر ہونے چاہئیں
• متعلقہ اطراف متناسب ہونے چاہئیں

مثلث کی مماثلت کے لیے تین ٹیسٹ

1. زاویہ زاویہ زاویہ ( \(AAA\) ) مماثلت کا محور

اگر دو مثلث میں زاویوں کے دو جوڑے برابر ہیں، تو ان کے متعلقہ اطراف متناسب ہیں۔ مثلث ABC اور \(DEF\) میں , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , پھر \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ، یعنی
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. سائیڈ اینگل سائیڈ ( \(SAS\) ) مماثلت کا محور

اگر دو مثلثوں میں مساوی زاویوں کا ایک جوڑا برابر ہے اور ان کے اطراف متناسب ہیں تو مثلث ایک جیسے ہیں۔

اگر مثلث ABC اور \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) اور \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) پھر \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. سائیڈ سائیڈ سائیڈ ( \(SSS\) ) مماثلت کا محور

اگر دو مثلثوں کے متعلقہ اطراف کے جوڑے متناسب ہیں تو مثلث ایک جیسے ہیں۔ اگر دو مثلث ABC اور \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) پھر \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

تھیوریم 1

مثلث کے ایک طرف متوازی کھینچی گئی سیدھی لکیر دوسرے دو اطراف کو متناسب طور پر تقسیم کرتی ہے۔ اس کے برعکس، اگر کوئی لکیر مثلث کے کسی بھی دو اطراف کو متناسب طور پر تقسیم کرتی ہے تو لائن تیسری طرف کے متوازی ہوتی ہے۔

میں \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) پھر

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

تھیوریم 2

ملتے جلتے مثلث کے رقبے متعلقہ اطراف کے مربعوں کے متناسب ہیں۔

\(\displaystyle \frac{\textrm{کے علاقے }\triangle ABC}{\textrm{کے علاقے }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

مثال 1: میں \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) ۔ اگر AP/ \(PB\) = 1/2 اور AQ = 2 سینٹی میٹر۔ QC تلاش کریں۔

چونکہ PQ BC کے متوازی ہے، اس لیے
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

مثال 2: مثلث \(\triangle ABD, \triangle ACD \) ملتے جلتے ہیں۔ BD = 2 سینٹی میٹر اور AB = 3 سینٹی میٹر۔ اگر مثلث \(\triangle ABD \) کا رقبہ 2 سینٹی میٹر ² ہے تو \( \triangle ACD \) کا رقبہ شمار کریں۔

\(\displaystyle \frac{\textrm{کے علاقے }\triangle ABD}{\textrm{کے علاقے }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{کا رقبہ }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{کا رقبہ }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)