Điểm tương đồng giữa các hình
Hai hình được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng hình dạng nhưng không nhất thiết phải cùng kích thước. Các hình sau đây cho thấy các hình tròn và hình tam giác đồng dạng.
Đồng dạng của tam giác: Hai tam giác có ba góc của tam giác này lần lượt bằng ba góc của tam giác kia và mọi tỉ số giữa số đo của các cạnh tương ứng bằng nhau được gọi là đồng dạng.
Theo định nghĩa, tam giác ABC đồng dạng với tam giác PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) nếu:
Vì vậy, sự đồng dạng của các hình tam giác đòi hỏi hai điều:
1. Góc-Góc-Góc ( \(AAA\) ) TIÊN ĐỀ CỦA SỰ TƯƠNG ĐỒNG
Nếu hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì các cạnh tương ứng của chúng tỉ lệ thuận. Trong tam giác ABC và \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , thì \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , nghĩa là
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Cạnh-Góc-Cạnh ( \(SAS\) ) TIÊN ĐỀ CỦA SỰ TƯƠNG ĐỒNG
Nếu hai tam giác có một cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ thuận thì hai tam giác đó đồng dạng.
Nếu trong tam giác ABC và \(DEF\)
3. Bên-Bên-Bên ( \(SSS\) ) TIÊN ĐỀ CỦA SỰ TƯƠNG ĐỒNG
Nếu hai tam giác có cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thuận thì hai tam giác đó đồng dạng. Nếu hai tam giác ABC và \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) thì \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác chia hai cạnh còn lại theo tỉ lệ. Ngược lại, nếu một đường thẳng chia hai cạnh bất kỳ của tam giác theo tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh thứ ba.
Trong \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) thì
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Diện tích của các tam giác đồng dạng tỉ lệ thuận với diện tích hình vuông ở các cạnh tương ứng.
\(\displaystyle \frac{\textrm{diện tích của }\triangle ABC}{\textrm{diện tích của }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Ví dụ 1: Trong \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Nếu AP/ \(PB\) = 1/2 và AQ = 2 cm. Tìm QC.
Vì PQ song song với BC nên
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Ví dụ 2: Tam giác \(\triangle ABD, \triangle ACD \) đồng dạng. BD = 2 cm và AB = 3 cm. Nếu diện tích của tam giác \(\triangle ABD \) là 2 cm 2 , hãy tính diện tích của \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{diện tích của }\triangle ABD}{\textrm{diện tích của }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Diện tích của }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Diện tích của }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
