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kongruenz von dreiecken

Kongruente Figuren: Wenn zwei geometrische Figuren die gleiche Größe und Form haben, werden sie als kongruent bezeichnet. Das Symbol zur Bezeichnung der Kongruenz ist \(\cong\)

Zwei kongruente Figuren sind identisch oder in jeder Hinsicht gleich.

Bei kongruenten Dreiecken sind die sechs Elemente – drei Seiten und drei Winkel des einen – jeweils gleich den sechs Elementen des anderen.

Bedingungen für die Kongruenz von Dreiecken

Seite-Winkel-Seite (SAS) ​​​​​​​Axiom  

Wenn zwei beliebige Seiten und der zwischen den Seiten eines Dreiecks eingeschlossene Winkel den entsprechenden zwei Seiten und dem Winkel zwischen den Seiten des zweiten Dreiecks entsprechen, dann gelten die beiden Dreiecke gemäß der Seite-Winkel-Seite- Regel als kongruent.

Hinweis: In , ist das Kriterium der Gleichheit des eingeschlossenen Winkels von wesentlicher Bedeutung.

Winkel-Seite-Winkel oder Winkel-Winkel-Seite-Axiom (Zwei Winkel, entsprechende Seiten)

Angle, Side, Angle (ASA) besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie eine gleiche Seite zwischen entsprechenden gleichen Winkeln haben. Angle, Angle, Side (AAS) besagt, dass die Dreiecke kongruent sind, wenn die Eckpunkte zweier Dreiecke in einer Eins-zu-eins-Entsprechung stehen, sodass zwei Winkel und die einem von ihnen gegenüberliegende Seite in einem Dreieck gleich den entsprechenden Winkeln und der nicht eingeschlossenen Seite des zweiten Dreiecks sind.

Hinweis: Die beiden gleichen Seiten müssen korrespondierende Seiten sein.

Seite-Seite-Seite- Axiom (Drei Seiten)

Wenn alle drei Seiten eines Dreiecks den entsprechenden drei Seiten des zweiten Dreiecks entsprechen, dann gelten die beiden Dreiecke nach der Seite-Seite-Seite-Regel (SSS) als kongruent.

Rechter Winkel, Hypothenuse und Seiten (RHS) Axiom

Wenn Hypothenuse und Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hypothenuse und der entsprechenden Seite eines anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, sind die beiden Dreiecke kongruent.

Notiz:

Wenn wir sagen wollen, dass ein gegebenes Dreieck, wie Dreieck ABC, kongruent zu einem anderen Dreieck ist, wie Dreieck \(DEF\) , macht die Reihenfolge der Eckpunkte im Namen einen großen Unterschied. Wenn zwei Dreiecke auf diese Weise geschrieben werden, ABC und \(DEF\) bedeutet dies, dass Scheitelpunkt A mit Scheitelpunkt D übereinstimmt, Scheitelpunkt B mit Scheitelpunkt E und so weiter. Diese Beziehungen sind nicht besonders wichtig, wenn Dreiecke nicht kongruent oder ähnlich sind. Aber wenn sie kongruent sind, bestimmt die Eins-zu-eins-Entsprechung von Dreiecken, welche Winkel und Seiten kongruent sind.

Theorem über gleichschenkliges Dreieck

Wenn zwei Seiten eines Dreiecks gleich groß sind, sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

Wenn \(AB\) = AC, dann ∠C = ∠B

Umgekehrt gilt: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, sind auch die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten gleich groß.

Beispiel: Finden Sie die beschrifteten Winkel in der folgenden Abbildung -

Lösung:
In \(\bigtriangleup ADB\) ∠A = ∠D, da AB = BD ( Wenn zwei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich. )
In \(\bigtriangleup DCB\) ∠C = ∠x, wenn CD = BD ( Wenn zwei Seiten eines Dreiecks gleich sind, dann sind auch die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich. )
∠ADB = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
Daher ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°