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congruencia de triángulos

Figuras congruentes: cuando dos figuras geométricas tienen el mismo tamaño y forma se dice que son congruentes. El símbolo que se utiliza para denotar congruencia es \(\cong\)


Dos figuras congruentes son idénticas o son iguales en todos los aspectos.

Dos cuadrados son congruentes si tienen el mismo ______.

Solución: lados.
Un cuadrado es una figura con cuatro lados rectos iguales y cuatro ángulos rectos, por lo tanto, la única propiedad requerida para que dos cuadrados sean congruentes es que tengan lados iguales.

En los triángulos congruentes, los seis elementos (tres lados y tres ángulos de uno) son respectivamente iguales a los seis elementos del otro.


Condiciones de congruencia de triángulos
Axioma lado-ángulo-lado (SAS)  

Si dos lados y el ángulo incluido entre los lados de un triángulo son equivalentes a los dos lados correspondientes y al ángulo entre los lados del segundo triángulo, entonces se dice que los dos triángulos son congruentes según la regla lado-ángulo-lado .


Nota: En SAS , el criterio para la igualdad del ángulo incluido es esencial.

Axioma ángulo-lado-ángulo o ángulo-ángulo-lado (dos ángulos, lados correspondientes)

Ángulo, Lado, Ángulo (ASA) establece que dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual contenido entre ángulos iguales correspondientes. Ángulo, Ángulo, Lado (AAS) establece que si los vértices de dos triángulos están en correspondencia uno a uno de modo que dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en un triángulo son iguales a los ángulos correspondientes y al lado no incluido del segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Nota: Los dos lados iguales deben ser lados correspondientes.

Axioma lado-lado-lado (tres lados)

Si los tres lados de un triángulo son equivalentes a los tres lados correspondientes del segundo triángulo, entonces se dice que los dos triángulos son congruentes según la regla lado-lado-lado (SSS) .

Axioma de ángulo recto, hipotenusa y lados (RHS)

Si la hipotenusa y el lado de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y el lado correspondiente de otro triángulo rectángulo, los dos triángulos son congruentes.

Nota:

Cuando queremos decir que un triángulo dado, como el triángulo ABC, es congruente con otro triángulo, como el triángulo \(DEF\) , el orden de los vértices en el nombre hace una gran diferencia. Cuando dos triángulos se escriben de esta manera, ABC y \(DEF\) , significa que el vértice A se corresponde con el vértice D, el vértice B con el vértice E, y así sucesivamente. Estas relaciones no son especialmente importantes cuando los triángulos no son congruentes o semejantes. Pero cuando son congruentes, la correspondencia biunívoca de los triángulos determina qué ángulos y lados son congruentes.

 

1. Si \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , escribe las partes de \(\bigtriangleup XYZ\) que corresponden a ∠B, BC, ∠C.

Solución: ∠B = ∠Y, BC = YZ, ∠C = ∠Z (encuentre el vértice correspondiente para A , B y C en el triángulo XYZ)

2. Si dos triángulos son congruentes, ¿qué puedes decir sobre su área y perímetro?

Solución: El perímetro y el área de ambos triángulos son iguales. Como el perímetro es igual a la suma de los tres lados de un triángulo, por lo tanto, como ambos triángulos tienen lados iguales, su perímetro también es el mismo. El área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura, es decir, A = 1/2 × b × h. Como la base y la altura de ambos triángulos son iguales, por lo tanto, tienen áreas iguales.

Teorema del triángulo isósceles

Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales.

Si \(AB\) = AC, entonces ∠C = ∠B

Por el contrario, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a esos ángulos también son iguales.

Ejemplo: Encuentra los ángulos marcados con letras en la siguiente figura:

Solución:
En \(\bigtriangleup ADB\) , ∠A = ∠D ya que AB = BD ( Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales).
En \(\bigtriangleup DCB\) , ∠C = ∠x ya que CD = BD ( Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales).
∠BAD = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
Por lo tanto ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°

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