Back to the topics list
Google Play badge

همخوانی مثلث ها

شکل‌های متجانس: وقتی دو شکل هندسی اندازه و شکل یکسانی داشته باشند، به آن‌ها می‌گویند. نماد مورد استفاده برای نشان دادن همخوانی \(\cong\) است.


دو شکل متجانس یکسان هستند یا از همه جهات با هم برابرند.

اگر دو مربع ______ یکسان باشند، همگن هستند.

راه حل: طرفین
مربع شکلی است با چهار ضلع مستقیم و چهار زاویه قائمه، از این رو تنها ویژگی مورد نیاز برای همخوانی دو مربع این است که اضلاع مساوی داشته باشند.

در مثلث هایی که همسو هستند، شش عنصر - سه ضلع و سه زاویه یکی به ترتیب با شش عنصر دیگر برابر است.


شرایط همخوانی مثلث ها
ضلع-زاویه (SAS) Axiom  

اگر هر دو ضلع و زاویه ای که بین اضلاع یک مثلث قرار می گیرد معادل دو ضلع متناظر و زاویه بین اضلاع مثلث دوم باشد، در آن صورت با قاعده Side-angle-side دو مثلث مطابق می گویند.


توجه: در SAS , معیارهای برابری زاویه شامل ضروری است.

Angle-Side-Angle یا Angle-Angle-Side Axiom (دو زاویه، ضلع متناظر)

Angle, Side, Angle (ASA) بیان می‌کند که دو مثلث متجانس هستند اگر دارای ضلع مساوی بین زوایای مساوی متناظر باشند. Angle, Angle, Side (AAS) بیان می کند که اگر رئوس دو مثلث مطابق یک به یک باشند به طوری که دو زاویه و ضلع مقابل یکی از آنها در یک مثلث برابر با زوایای مربوطه و غیر شامل باشند. ضلع مثلث دوم، پس مثلث ها همخوان هستند.

نکته: دو ضلع مساوی باید ضلع متناظر باشند.

آکسیوم جانبی - جانبی (سه ضلع)

اگر هر سه ضلع یک مثلث معادل سه ضلع متناظر مثلث دوم باشد، آنگاه با قاعده Side-Side-Side (SSS) گفته می شود که دو مثلث با هم همخوانی دارند.

بدیهیات زاویه راست، هیپوتنوز و اضلاع (RHS) .

اگر فرض و ضلع یک مثلث قائم الزاویه با ضلع هیپوتانوس و ضلع متناظر یک مثلث قائم الزاویه دیگر برابر باشد، دو مثلث متجانس هستند.

توجه:

وقتی می خواهیم بگوییم که یک مثلث معین، مانند مثلث ABC، با مثلث دیگری، مانند مثلث \(DEF\) همخوانی دارد، ترتیب رئوس در نام تفاوت زیادی ایجاد می کند. وقتی دو مثلث به این صورت نوشته می شود، ABC و \(DEF\) ، یعنی راس A با راس D و راس B با راس E و غیره مطابقت دارد. این روابط زمانی که مثلث ها متجانس یا مشابه نیستند، اهمیت خاصی ندارند. اما زمانی که آنها متجانس هستند، مطابقت یک به یک مثلث ها مشخص می کند که کدام زوایا و اضلاع همگن هستند.

 

1. اگر \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , قسمتهای \(\bigtriangleup XYZ\) را بنویسید که با ∠B, BC, ∠C مطابقت دارد.

راه حل: ∠B = ∠Y، BC = YZ، ∠C = ∠Z (راس مربوطه را برای A پیدا کنید ، B و C در مثلث XYZ)

2. اگر دو مثلث با هم متجانس باشند، در مورد مساحت و محیط آنها چه می توان گفت؟

راه حل: محیط و مساحت هر دو مثلث برابر است. از آنجایی که محیط برابر با مجموع سه ضلع یک مثلث است، بنابراین از آنجایی که هر دو مثلث دارای اضلاع مساوی هستند، محیط آنها نیز یکسان است. مساحت یک مثلث برابر است با نصف قاعده ضربدر ارتفاع، یعنی A = 1/2 × b × h. از آنجایی که قاعده و ارتفاع هر دو مثلث مساوی است، مساحت آنها برابر است.

قضیه مثلث متساوی الساقین

اگر دو ضلع یک مثلث با هم برابر باشند، زوایای روبروی آن ضلع ها برابر هستند.

اگر \(AB\) = AC، ∠C = ∠B

برعکس، اگر دو زاویه از یک مثلث با هم برابر باشند، اضلاع روبروی آن زوایا نیز برابر هستند.

مثال: زوایای حروف را در شکل زیر پیدا کنید -

راه حل:
در \(\bigtriangleup ADB\) , ∠A = ∠D به صورت AB = BD ( اگر دو ضلع مثلث مساوی باشند، آنگاه زوایای روبروی آن اضلاع برابر هستند. )
در \(\bigtriangleup DCB\) , ∠C = ∠x به عنوان CD = BD ( اگر دو ضلع یک مثلث با هم برابر باشند، آنگاه زوایای روبروی آن اضلاع برابر هستند. )
∠ADB = 180 - 108 = 72 درجه ⇒ ∠A = 72 درجه
بنابراین ∠y = 180 - (72 + 72) ⇒ ∠y = 36 درجه
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36 درجه

Download Primer to continue