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त्रिभुजों की सर्वांगसमता

सर्वांगसम आकृतियाँ: जब दो ज्यामितीय आकृतियों का आकार और आकृति समान होती है तो उन्हें सर्वांगसम कहा जाता है। सर्वांगसमता को दर्शाने के लिए प्रयुक्त प्रतीक \(\cong\) है


दो सर्वांगसम आकृतियाँ समान होती हैं या वे सभी प्रकार से बराबर होती हैं।

दो वर्ग सर्वांगसम होते हैं यदि उनका ______ समान हो।

समाधान: पक्ष.
वर्ग एक ऐसी आकृति है जिसमें चार बराबर सीधी भुजाएं और चार समकोण होते हैं, इसलिए दो वर्गों को सर्वांगसम बनाने के लिए आवश्यक एकमात्र गुण यह है कि उनकी भुजाएं बराबर हों।

सर्वांगसम त्रिभुजों में, छः अवयव - एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ और तीन कोण - क्रमशः दूसरे त्रिभुज के छः अवयवों के बराबर होते हैं।


त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए शर्तें
भुजा-कोण-भुजा (SAS) ​​​​​​​स्वयंसिद्ध  

यदि एक त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ और भुजाओं के बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और भुजाओं के बीच के कोण के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुजों को भुजा-कोण-भुजा नियम के अनुसार सर्वांगसम कहा जाता है।


नोट: एसएएस में , सम्मिलित कोण की समानता के लिए मानदंड आवश्यक है।

कोण-भुजा-कोण या कोण-कोण-भुजा अभिगृहीत (दो कोण, संगत भुजाएँ)

कोण, भुजा, कोण (ASA) बताता है कि दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनके संगत बराबर कोणों के बीच एक समान भुजा होती है। कोण, कोण, भुजा (AAS) बताता है कि यदि दो त्रिभुजों के शीर्ष एक-से-एक संगति में हों जैसे कि एक त्रिभुज में दो कोण और उनमें से एक के विपरीत भुजा दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों और गैर-शामिल भुजा के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

ध्यान दें: दो बराबर भुजाएँ संगत भुजाएँ होनी चाहिए।

साइड-साइड-साइड अभिगृहीत (तीन भुजाएँ)

यदि एक त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुजों को भुजा-भुजा-भुजा (SSS) नियम के अनुसार सर्वांगसम कहा जाता है।

समकोण, कर्ण और भुजाएँ (RHS) अभिगृहीत

यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और भुजा दूसरे समकोण त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

टिप्पणी:

जब हम यह कहना चाहते हैं कि दिया गया त्रिभुज, जैसे त्रिभुज ABC, दूसरे त्रिभुज के समरूप है, जैसे त्रिभुज \(DEF\) , तो नाम में शीर्षों का क्रम बहुत बड़ा अंतर पैदा करता है। जब दो त्रिभुजों को इस तरह लिखा जाता है, ABC और \(DEF\) इसका मतलब है कि शीर्ष A शीर्ष D के साथ मेल खाता है, शीर्ष B शीर्ष E के साथ मेल खाता है, और इसी तरह आगे भी। ये संबंध विशेष रूप से तब महत्वपूर्ण नहीं होते जब त्रिभुज समरूप या समान न हों। लेकिन जब वे समरूप होते हैं, तो त्रिभुजों का एक-से-एक पत्राचार यह निर्धारित करता है कि कौन से कोण और भुजाएँ समरूप हैं।

 

1. यदि \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , \(\bigtriangleup XYZ\) के वे भाग लिखिए जो ∠B, BC, ∠C के अनुरूप हों।

हल: ∠B = ∠Y, BC = YZ, ∠C = ∠Z (A के लिए संगत शीर्ष ज्ञात कीजिए , त्रिभुज XYZ में B और C)

2. यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो आप उनके क्षेत्रफल और परिमाप के बारे में क्या कह सकते हैं?

हल: दोनों त्रिभुजों का परिमाप और क्षेत्रफल बराबर है। चूँकि परिमाप त्रिभुज की तीनों भुजाओं के योग के बराबर होता है, इसलिए चूँकि दोनों त्रिभुज बराबर भुजाओं वाले हैं, इसलिए उनका परिमाप भी समान है। त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणा ऊँचाई के बराबर होता है, यानी A = 1/2 × b × h। चूँकि दोनों त्रिभुजों का आधार और ऊँचाई बराबर है, इसलिए उनका क्षेत्रफल भी बराबर है।

समद्विबाहु त्रिभुज पर प्रमेय

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो उन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं।

यदि \(AB\) = AC, तो ∠C = ∠B

इसके विपरीत, यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो उन कोणों की सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।

उदाहरण: नीचे दी गई आकृति में अक्षरांकित कोण ज्ञात कीजिए -

समाधान:
\(\bigtriangleup ADB\) में, ∠A = ∠D क्योंकि AB = BD ( यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। )
\(\bigtriangleup DCB\) में, ∠C = ∠x क्योंकि CD = BD ( यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, तो उन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। )
∠ADB = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
इसलिए ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°

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