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三角形の合同

合同図形: 2 つの幾何図形が同じ大きさと形である場合、それらは合同であると言われます。合同を表す記号は\(\cong\)です。

2 つの合同な図形は同一であるか、またはすべての点で等しいです。

合同な三角形では、一方の三角形の 3 つの辺と 3 つの角度の 6 つの要素が、もう一方の三角形の 6 つの要素とそれぞれ等しくなります。

三角形の合同条件

辺角辺(SAS)公理 

1 つの三角形の任意の 2 辺と辺の間の角度が、2 番目の三角形の対応する 2 辺と辺の間の角度に等しい場合、辺-角-辺の規則により、2 つの三角形は合同であると言われます。

注: SAS では,内角の等しさの基準が重要です。

角-辺-角または角-角-辺の公理（2 つの角、対応する辺）

角、辺、角(ASA)は、2 つの三角形が、対応する等しい角の間に等しい辺を含む場合、合同であることを示します。角、角、辺(AAS)は、2 つの三角形の頂点が 1 対 1 に対応し、1 つの三角形の 2 つの角度とそれらの 1 つに対向する辺が、2 番目の三角形の対応する角度と含まれない辺に等しい場合、三角形は合同であることを示します。

注意: 2 つの等しい辺は対応する辺である必要があります。

辺-辺-辺公理（3辺）

1 つの三角形の 3 辺すべてが、2 番目の三角形の対応する 3 辺と等しい場合、2 つの三角形は、Side-Side-Side (SSS)ルールにより合同であると言われます。

直角、斜辺、辺(RHS)公理

一つの直角三角形の斜辺と辺が、別の直角三角形の斜辺と対応する辺に等しい場合、2 つの三角形は合同です。

注記：

三角形ABCの​​ような三角形が別の三角形\(DEF\)のような三角形と合同であると言いたい場合、名前の頂点の順序は大きな違いを生みます。2つの三角形がこのように書かれると、ABCと\(DEF\)つまり、頂点 A は頂点 D に対応し、頂点 B は頂点 E に対応する、ということになります。三角形が合同または相似でない場合は、これらの関係は特に重要ではありません。しかし、三角形が合同である場合は、三角形の 1 対 1 の対応によって、どの角度と辺が合同であるかが決まります。

二等辺三角形の定理

三角形の 2 辺が等しい場合、それらの辺の反対側の角度も等しくなります。

\(AB\) = AC ならば、∠C = ∠B

逆に、三角形の 2 つの角度が等しい場合、それらの角度の反対側の辺も等しくなります。

例:下の図の文字の角度を見つけます -

解決：
\(\bigtriangleup ADB\)では、AB = BD なので ∠A = ∠D です (三角形の 2 辺が等しい場合、それらの辺の反対側の角度も等しくなります。 )
\(\bigtriangleup DCB\)では、CD = BD なので ∠C = ∠x です (三角形の 2 辺が等しい場合、それらの辺の反対側の角度も等しくなります。 )
∠ADB = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
したがって∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°