Back to the topics list
Google Play badge

zgodność trójkątów

Przystające figury: Kiedy dwie figury geometryczne mają ten sam rozmiar i kształt, nazywa się je przystającymi. Symbolem używanym do oznaczenia przystania jest \(\cong\)


Dwie figury przystające są identyczne lub równe pod każdym względem.

Dwa kwadraty są przystające, jeżeli mają takie samo ______.

Rozwiązanie: boki.
Kwadrat to figura, która ma cztery równe proste boki i cztery kąty proste, zatem jedyną cechą wymaganą do tego, aby dwa kwadraty były przystające, jest to, aby miały równe boki.

W trójkątach przystających sześć elementów — trzy boki i trzy kąty jednego — jest odpowiednio równych sześciu elementom drugiego.


Warunki przystawania trójkątów
Aksjomat bok-kąt-bok (SAS)  

Jeżeli dowolne dwa boki i kąt zawarty między bokami jednego trójkąta są równe dwóm odpowiadającym im bokom i kątowi między bokami drugiego trójkąta, to zgodnie z regułą bok-kąt-bok oba trójkąty nazywamy przystającymi.


Uwaga: W , istotne jest kryterium równości kąta zawartego.

Aksjomat kąt-bok-kąt lub kąt-kąt-bok (dwa kąty, odpowiadające sobie boki)

Angle, Side, Angle (ASA) stwierdza, że ​​dwa trójkąty są przystające, jeśli mają równy bok zawarty między odpowiadającymi sobie równymi kątami. Angle, Angle, Side (AAS) stwierdza, że ​​jeśli wierzchołki dwóch trójkątów są w relacji jeden do jednego, tak że dwa kąty i bok przeciwległy do ​​jednego z nich w jednym trójkącie są równe odpowiadającym im kątom i niewłączonemu bokowi drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.

Uwaga: Dwa równe boki muszą być bokami odpowiadającymi sobie.

Aksjomat Bok-Bok-Bok (Trzy boki)

Jeżeli wszystkie trzy boki jednego trójkąta są równe trzem odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta, to zgodnie z regułą bok-bok-bok (SSS) oba trójkąty nazywamy przystającymi.

Aksjomat kąta prostego, przeciwprostokątnej i boków (RHS)

Jeżeli przeciwprostokątna i bok jednego trójkąta prostokątnego są równe przeciwprostokątnej i odpowiadającemu jej bokowi innego trójkąta prostokątnego, to oba trójkąty są przystające.

Notatka:

Gdy chcemy powiedzieć, że dany trójkąt, taki jak trójkąt ABC, jest przystający do innego trójkąta, takiego jak trójkąt \(DEF\) , kolejność wierzchołków w nazwie robi dużą różnicę. Gdy dwa trójkąty są zapisane w ten sposób, ABC i \(DEF\) , oznacza to, że wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi D, wierzchołek B odpowiada wierzchołkowi E itd. Te relacje nie są szczególnie ważne, gdy trójkąty nie są przystające lub podobne. Ale gdy są przystające, jednoznaczna korespondencja trójkątów określa, które kąty i boki są przystające.

 

1. Jeśli \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , zapisz części \(\bigtriangleup XYZ\) , które odpowiadają ∠B, BC, ∠C.

Rozwiązanie: ∠B = ∠Y, BC = YZ, ∠C = ∠Z (znajdź odpowiedni wierzchołek dla A , B i C w trójkącie XYZ)

2. Jeśli dwa trójkąty są przystające, co możesz powiedzieć o ich polu i obwodzie?

Rozwiązanie: Obwód i pole obu trójkątów są równe. Ponieważ obwód jest równy sumie trzech boków trójkąta, zatem ponieważ oba trójkąty mają równe boki, ich obwód jest również taki sam. Pole trójkąta jest równe połowie podstawy razy wysokość, tj. A = 1/2 × b × h. Ponieważ podstawa i wysokość obu trójkątów są równe, zatem mają one równe pola.

Twierdzenie o trójkącie równoramiennym

Jeżeli dwa boki trójkąta są równe, to kąty leżące naprzeciw tych boków są równe.

Jeśli \(AB\) = AC, to ∠C = ∠B

Odwrotnie, jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to boki leżące naprzeciw tych kątów również są równe.

Przykład: Znajdź kąty oznaczone literami na poniższym rysunku -

Rozwiązanie:
W \(\bigtriangleup ADB\) , ∠A = ∠D, ponieważ AB = BD ( Jeśli dwa boki trójkąta są równe, to kąty przeciwległe tym bokom są równe. )
W \(\bigtriangleup DCB\) , ∠C = ∠x, ponieważ CD = BD ( Jeśli dwa boki trójkąta są równe, to kąty przeciwległe tym bokom są równe. )
∠ADB = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
Dlatego ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 - 108 ⇒ ∠x = 36°

Download Primer to continue