Back to the topics list
Google Play badge

конгруэнтность треугольников

Конгруэнтные фигуры: Когда две геометрические фигуры имеют одинаковый размер и форму, они называются конгруэнтными. Символ, используемый для обозначения конгруэнтности, — \(\cong\)


Две конгруэнтные фигуры идентичны или равны во всех отношениях.

Два квадрата равны, если они имеют одинаковые ______.

Решение: стороны.
Квадрат — это фигура с четырьмя равными прямыми сторонами и четырьмя прямыми углами, поэтому единственное свойство, необходимое для того, чтобы сделать два квадрата равными, — это то, что они имеют равные стороны.

В равных треугольниках шесть элементов — три стороны и три угла одного треугольника — соответственно равны шести элементам другого треугольника.


Условия подобия треугольников
Сторона-угол-сторона (SAS) ​​​​​​​Аксиома  

Если любые две стороны и угол между сторонами одного треугольника эквивалентны соответствующим двум сторонам и углу между сторонами второго треугольника, то говорят, что два треугольника равны по правилу «сторона-угол-сторона» .


Примечание: В , критерий равенства прилежащего угла имеет существенное значение.

Аксиома Угол-Сторона-Угол или Угол-Угол-Сторона (Два угла, соответствующие стороны)

Закон «Угол, сторона, угол (ASA) гласит, что два треугольника равны, если они имеют равную сторону, заключенную между соответствующими равными углами. Закон «Угол, угол, сторона» (AAS) гласит, что если вершины двух треугольников находятся во взаимно-однозначном соответствии, так что два угла и сторона, противолежащая одному из них в одном треугольнике, равны соответствующим углам и не включенной стороне второго треугольника, то треугольники равны.

Примечание: две равные стороны должны быть соответствующими.

Аксиома «сторона-сторона-сторона» (Три стороны)

Если все три стороны одного треугольника эквивалентны соответствующим трем сторонам второго треугольника, то два треугольника называются равными по правилу «сторона-сторона-сторона» (SSS) .

Аксиома прямого угла, гипотенузы и катетов (RHS)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и соответствующей стороне другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника равны.

Примечание:

Когда мы хотим сказать, что данный треугольник, например, треугольник ABC, конгруэнтен другому треугольнику, например, треугольнику \(DEF\) , порядок вершин в названии имеет большое значение. Когда два треугольника записаны таким образом, ABC и \(DEF\) , это означает, что вершина A соответствует вершине D, вершина B — вершине E и т. д. Эти отношения не особенно важны, когда треугольники не являются конгруэнтными или подобными. Но когда они конгруэнтны, взаимно-однозначное соответствие треугольников определяет, какие углы и стороны являются конгруэнтными.

 

1. Если \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , запишите части \(\bigtriangleup XYZ\) , которые соответствуют ∠B, BC, ∠C.

Решение: ∠B = ∠Y, BC = YZ, ∠C = ∠Z (найдите соответствующую вершину для A , B и C в треугольнике XYZ)

2. Если два треугольника равны, что вы можете сказать об их площади и периметре?

Решение: Периметр и площадь обоих треугольников равны. Так как периметр равен сумме трех сторон треугольника, то, поскольку оба треугольника имеют равные стороны, их периметр также одинаков. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то есть A = 1/2 × b × h. Так как основание и высота обоих треугольников равны, то их площади равны.

Теорема о равнобедренном треугольнике

Если две стороны треугольника равны, то и углы, противолежащие этим сторонам, равны.

Если \(AB\) = AC, то ∠C = ∠B

И наоборот, если два угла треугольника равны, то и стороны, противолежащие этим углам, также равны.

Пример: Найдите обозначенные буквами углы на рисунке ниже -

Решение:
В \(\bigtriangleup ADB\) ∠A = ∠D, так как AB = BD ( если две стороны треугольника равны, то и углы, противолежащие этим сторонам, равны).
В \(\bigtriangleup DCB\) ∠C = ∠x, так как CD = BD ( если две стороны треугольника равны, то и углы, противолежащие этим сторонам, равны).
∠ADB = 180–108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
Поэтому ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°

Download Primer to continue