Back to the topics list
Google Play badge

конгруентність трикутників

Конгруентні фігури: коли дві геометричні фігури мають однаковий розмір і форму, вони називаються конгруентними. Символ, який використовується для позначення конгруентності, це \(\cong\)


Дві конгруентні фігури однакові або рівні в усіх відношеннях.

Два квадрати рівні, якщо вони мають однакові ______.

Рішення: сторони.
Квадрат — це фігура з чотирма рівними прямими сторонами та чотирма прямими кутами, отже, єдина властивість, необхідна для того, щоб два квадрати були рівними, це мати рівні сторони.

У рівних трикутниках шість елементів - три сторони і три кути одного відповідно дорівнюють шести елементам іншого.


Умови рівності трикутників
Сторона-кут-сторона (SAS) ​​​​​​​Аксіома  

Якщо будь-які дві сторони та кут між сторонами одного трикутника еквівалентні відповідним двом сторонам і куту між сторонами другого трикутника, то два трикутники вважаються конгруентними за правилом сторона-кут-сторона .


Примітка: у , критерії рівності включеного кута є важливими.

Аксіома кут-сторона-кут або кут-кут-сторона (два кути, відповідні сторони)

Кут, сторона, кут (ASA) стверджує, що два трикутники конгруентні, якщо вони мають рівну сторону, що міститься між відповідними рівними кутами. Кут, кут, сторона (AAS) стверджує, що якщо вершини двох трикутників знаходяться у взаємній відповідності, так що два кути та сторона, протилежна одному з них в одному трикутнику, дорівнюють відповідним кутам і не входять до складу сторону другого трикутника, то трикутники рівні.

Примітка: дві рівні сторони мають бути відповідними сторонами.

Аксіома сторона-сторона-сторона (три сторони)

Якщо всі три сторони одного трикутника еквівалентні відповідним трьом сторонам другого трикутника, то два трикутники вважаються конгруентними за правилом сторона-сторона-сторона (SSS) .

Аксіома прямого кута, гіпотенузи та сторін (RHS)

Якщо гіпотенуза та сторона одного прямокутного трикутника дорівнюють гіпотенузі та відповідній стороні іншого прямокутного трикутника, то два трикутники рівні.

Примітка:

Коли ми хочемо сказати, що даний трикутник, наприклад трикутник ABC, конгруентний іншому трикутнику, наприклад трикутнику \(DEF\) , порядок вершин у назві має велике значення. Коли два трикутники записуються таким чином, ABC і \(DEF\) , це означає, що вершина A відповідає вершині D, вершина B — вершині E і так далі. Ці зв’язки не особливо важливі, коли трикутники не конгруентні або подібні. Але коли вони рівні, взаємна відповідність трикутників визначає, які кути та сторони рівні.

 

1. Якщо \(\bigtriangleup ABC \cong\, \bigtriangleup XYZ\) , запишіть частини \(\bigtriangleup XYZ\) , які відповідають ∠B, BC, ∠C.

Розв’язання: ∠B = ∠Y, BC = YZ, ∠C = ∠Z (знайдіть відповідну вершину для A , B і C у трикутнику XYZ)

2. Якщо два трикутники рівні, що можна сказати про їх площу та периметр?

Розв'язання: периметр і площа обох трикутників рівні. Оскільки периметр дорівнює сумі трьох сторін трикутника, тому, оскільки обидва трикутники мають рівні сторони, їх периметр також однаковий. Площа трикутника дорівнює половині основи, помноженої на висоту, тобто A = 1/2 × b × h. Оскільки основа і висота обох трикутників рівні, отже, вони мають рівні площі.

Теорема про рівнобедрений трикутник

Якщо дві сторони трикутника рівні, то й кути, протилежні цим сторонам, рівні.

Якщо \(AB\) = AC, то ∠C = ∠B

І навпаки, якщо два кути трикутника рівні, то сторони, протилежні цим кутам, також рівні.

Приклад: знайдіть кути, позначені буквами на малюнку нижче -

рішення:
У \(\bigtriangleup ADB\) ∠A = ∠D як AB = BD ( якщо дві сторони трикутника рівні, то кути, протилежні цим сторонам, рівні. )
У \(\bigtriangleup DCB\) ∠C = ∠x як CD = BD ( якщо дві сторони трикутника рівні, то кути, протилежні цим сторонам, рівні. )
∠ADB = 180 - 108 = 72° ⇒ ∠A = 72°
Тому ∠y = 180 − (72 + 72) ⇒ ∠y = 36°
∠x + ∠C + 108 = 180
2∠x = 180 − 108 ⇒ ∠x = 36°

Download Primer to continue