Back to the topics list

النظريات حول المثلثات

في هذا الدرس ، سوف نغطي بعض النظريات المهمة حول المثلثات.

• إذا كان ضلعا المثلث لهما أطوال غير متساوية ، فإن الضلع الأكبر تكون له الزاوية الأكبر المقابلة له. على العكس من ذلك ، إذا كانت زاويتان في المثلث ذات قياسات غير متساوية ، فإن الزاوية الأكبر يكون لها الضلع الأكبر المقابل لها.
  

AB> AC ⇒ لذلك ، ∠ACB> ∠ABC [الزوايا المقابلة للضلع AB و AC]

على العكس من ذلك ، مثل ∠BAC> ∠ABC ⇒ لذلك ، BC> AC [الجوانب المقابلة للزاوية A و B]

النتائج الطبيعية

1. مجموع أطوال أي ضلع من ضلعي المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
2. الفرق بين أطوال أي ضلع من ضلع المثلث أقل من طول الضلع الثالث.

• نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعي الضلعين المتبقيين.

△ ABC هو مثلث قائم الزاوية حيث ∠C = 90 ° ، AB هو الوتر إذن
AB ² = AC ² + BC ²

• القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتي المنتصف في ضلعي المثلث تكون موازية للضلع الثالث وتساوي نصفه.

D هي نقطة المنتصف لـ AB و E هي نقطة المنتصف لـ AC ، ثم DE || BC و DE = ½ BC

• قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة.

الزاوية الخارجية ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• المنصف الزاوي والمخرج: يقع مركز المثلث دائمًا في داخل المثلث. يسمى الخط الذي يقسم أي زاوية داخلية للمثلث بالمنصف الزاوي ، وتسمى النقطة التي تلتقي عندها المنصفات الزاويّة الثلاثة بمركز المثلث.

AD و BE و CF هي المنصفات الزاويّة الثلاثة للمثلث ABC. تكون المنصفات الزاويّة الثلاثة متزامنة عند النقطة I والتي تسمى بمركز المثلث. النقطة التي سأكون دائمًا داخل المثلث الداخلي.

• الوسيط و Centroid: تقسم النقطه الوسطى للمثلث كل وسيط داخليًا بنسبة 2: 1.

AD و BC و CF هي المتوسطات الثلاثة للمثلث ABC. يسمى الجزء الخطي الذي يربط الرأس بنقطة المنتصف في الجانب المقابل للمثلث بمتوسط ​​المثلث. تكون المتوسطات الثلاثة متزامنة عند G والتي تسمى النقطه الوسطى للمثلث ، ثم \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• الارتفاع و Orthocenter: يقع مركز تقويم المثلث الحاد الزاوية في الجزء الداخلي من المثلث. يقع مركز تقويم المثلث المنفرج الزاوية في الجزء الخارجي من المثلث. يقع مركز تقويم المثلث القائم الزاوية في الرأس ، حيث يكون المثلث زاوية قائمة. يُطلق على الجزء المستقيم المرسوم من الرأس ، المتعامد على الجانب المقابل للمثلث ، ارتفاع المثلث. الارتفاعات الثلاثة متزامنة عند نقطة تسمى مركز تقويم العظام.

AD و BE و CF هي الارتفاعات الثلاثة للمثلث ABC. H هو مركز تقويم المثلث. هنا مثل △ ABC هو مثلث حاد الزاوية ومن ثم يقع المركز العمودي داخل المثلث.

ارتفاعات مثلث متساوي الأضلاع متساوية. الارتفاعات على الأضلاع المتساوية لمثلث متساوي الساقين متساوية.

مثال 1: حدد ما إذا كان المثلث التالي قائم الزاوية أم لا.

تحقق مما إذا كان 13 ² = 5 ² + 12 ²

نظرًا لأنه يحقق نظرية فيثاغورس ، فإن المثلث المعطى هو مثلث قائم الزاوية.

مثال 2: أوجد ∠x في الشكل المعطى.

∠x = 40 + 60 = 100 ° ( قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع الزوايا الداخلية المقابلة.)