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sätze über dreiecke

In dieser Lektion behandeln wir einige wichtige Sätze über Dreiecke.

• Wenn zwei Seiten eines Dreiecks ungleich lang sind, dann hat die größere Seite den größeren Winkel gegenüber ihr. Umgekehrt, wenn zwei Winkel eines Dreiecks ungleiche Maße haben, dann hat der größere Winkel die größere Seite gegenüber.
  

AB > AC ⇒ Also ∠ACB > ∠ABC [Winkel gegenüber Seite AB und AC]

Umgekehrt, da ∠BAC > ∠ABC ⇒ Daher BC > AC [Seiten gegenüber Winkel A und B]

Folgerungen

1. Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks ist größer als die Länge der dritten Seite.
2. Der Unterschied zwischen den Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks ist kleiner als die Länge der dritten Seite.

• Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden verbleibenden Seiten.

△ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit ∠C = 90°, AB ist dann die Hypotenuse
AB ² = AC ² + BC ²

• Die Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, ist parallel zur dritten Seite und gleich der Hälfte davon.

D ist der Mittelpunkt von AB und E ist der Mittelpunkt von AC, dann DE || BC und DE = ½ BC

• Das Maß des Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich der Summe der entsprechenden Innenwinkel.

Außenwinkel ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Winkelhalbierende und Mittelpunkt: Der Mittelpunkt des Dreiecks liegt immer im Inneren eines Dreiecks. Eine Linie, die einen beliebigen Innenwinkel eines Dreiecks halbiert, wird Winkelhalbierende genannt, und der Punkt, an dem sich die drei Winkelhalbierenden treffen, wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt.

AD, BE und CF sind die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC. Die drei Winkelhalbierenden laufen im Punkt I zusammen, der als Mittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird. Der Punkt I wird immer im Inneren eines Dreiecks liegen.

• Median und Schwerpunkt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt jeden Median intern im Verhältnis 2:1.

AD, BC und CF sind die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC. Die Strecke, die den Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite eines Dreiecks verbindet, wird als Mittellinie eines Dreiecks bezeichnet. Die drei Seitenhalbierenden sind bei G gleichzeitig, was als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet wird, dann \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Höhe und Orthozentrum: Das Orthozentrum eines spitzwinkligen Dreiecks liegt im Inneren des Dreiecks. Das Orthozentrum des stumpfwinkligen Dreiecks liegt im Äußeren des Dreiecks. Das Orthozentrum des rechtwinkligen Dreiecks liegt an der Spitze, wo das Dreieck ein rechter Winkel ist. Ein Liniensegment, das von einem Scheitelpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite eines Dreiecks gezogen wird, wird als Höhe des Dreiecks bezeichnet. Die drei Höhen sind gleichzeitig an einem Punkt, der als Orthozentrum bezeichnet wird.

AD, BE und CF sind die drei Höhen des Dreiecks ABC. H ist das Orthozentrum des Dreiecks. Da △ ABC hier ein spitzwinkliges Dreieck ist, liegt das Orthozentrum innerhalb des Dreiecks.

Die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks sind gleich. Die Höhen zu den gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

Beispiel 1: Geben Sie an, ob das folgende Dreieck rechtwinklig ist oder nicht.

Überprüfe, ob 13 ² = 5 ² + 12 ² ist

Da es den Satz des Pythagoras erfüllt, ist das gegebene Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck.

Beispiel 2: Finden Sie ∠x in der gegebenen Figur.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Das Maß des Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich der Summe der entsprechenden Innenwinkel.)