En esta lección, vamos a cubrir algunos teoremas importantes sobre triángulos.
- Si dos lados de un triángulo tienen longitudes diferentes, entonces el lado mayor tiene el ángulo mayor opuesto a él. Por el contrario, si dos ángulos de un triángulo son de medidas diferentes, entonces el ángulo mayor tiene el lado mayor opuesto a él.
AB > AC ⇒ Por lo tanto, ∠ACB > ∠ABC [Ángulos opuestos al lado AB y AC]
Por el contrario, como ∠BAC > ∠ABC ⇒ Por lo tanto, BC > AC [Lados opuestos al ángulo A y B]
Corolarios
- La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
- La diferencia entre las longitudes de cualquiera de los dos lados de un triángulo es menor que la longitud del tercer lado.
- Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes.
△ABC es un triángulo rectángulo donde ∠C = 90°, AB es la hipotenusa entonces
AB2 = AC2 + BC2
- El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de él.
D es el punto medio de AB y E es el punto medio de AC, entonces DE || BC y DE = ½ BC
- La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores correspondientes.
Ángulo exterior ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB
- Bisectriz angular e incentro: el incentro del triángulo siempre se encuentra en el interior de un triángulo. Una línea que biseca cualquier ángulo interior de un triángulo se llama su bisectriz angular y el punto en el que se encuentran las tres bisectrices angulares se llama el incentro del triángulo.
AD, BE y CF son las tres mediatrices angulares del triángulo ABC. Las tres bisectrices angulares son concurrentes en el punto I que se llama el incentro del triángulo. El punto I siempre estará en el interior de un triángulo.
- Mediana y centroide: el centroide de un triángulo divide cada mediana internamente en una proporción de 2:1.
AD, BC y CF son las tres medianas de un triángulo ABC. El segmento de recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama mediana de un triángulo. Las tres medianas son concurrentes en G, que se llama centroide del triángulo, entonces \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)
- Altitud y ortocentro: el ortocentro de un triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo. El ortocentro del triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triángulo. El ortocentro del triángulo rectángulo se encuentra en el vértice, donde el triángulo es un ángulo recto. Un segmento de línea trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto de un triángulo se llama altura del triángulo. Las tres altitudes son concurrentes en un punto llamado ortocentro.
AD, BE y CF son las tres alturas del triángulo ABC. H es el ortocentro del triángulo. Aquí, como △ ABC es un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo.
Las alturas de un triángulo equilátero son iguales. Las alturas de los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.
Ejemplo 1: Indica si el siguiente triángulo es rectángulo o no.
Comprueba si 13 2 = 5 2 + 12 2
Como satisface el teorema de Pitágoras, por lo tanto, el triángulo dado es un triángulo rectángulo.
Ejemplo 2: Encuentra ∠x en la figura dada.
∠x = 40 + 60 = 100° ( La medida del ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores correspondientes).
