Dans cette leçon, nous allons couvrir quelques théorèmes importants sur les triangles.
- Si deux côtés d'un triangle sont de longueurs inégales, alors le plus grand côté a le plus grand angle opposé. Inversement, si deux angles d'un triangle sont de mesures inégales, alors le plus grand angle a le plus grand côté opposé.
AB > AC ⇒ Donc, ∠ACB > ∠ABC [Angles opposés aux côtés AB et AC]
Inversement, comme ∠BAC > ∠ABC ⇒ Donc, BC > AC [Côtés opposés aux angles A et B]
Corollaires
- La somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est supérieure à la longueur du troisième côté.
- La différence entre les longueurs de deux côtés d'un triangle est inférieure à la longueur du troisième côté.
- Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés restants.
△ABC est un triangle rectangle où ∠C = 90°, AB est l'hypoténuse alors
AB 2 = AC 2 + BC 2
- Le segment de droite joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égal à la moitié de celui-ci.
D est le milieu de AB et E est le milieu de AC, alors DE || BC et DE = ½ BC
- La mesure de l'angle extérieur d'un triangle est égale à la somme des angles intérieurs correspondants.
Angle extérieur ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB
- Bissectrice angulaire et centre du centre : le centre du triangle se trouve toujours à l'intérieur d'un triangle. Une ligne qui coupe en deux un angle intérieur d'un triangle est appelée sa bissectrice angulaire et le point auquel les trois bissectrices angulaires se rencontrent est appelé le centre du triangle.
AD, BE et CF sont les trois bissectrices angulaires du triangle ABC. Les trois bissectrices angulaires sont concourantes au point I qui s'appelle le centre du triangle. Le point I se trouvera toujours à l'intérieur d'un triangle.
- Médiane et Centroïde : Le centroïde d'un triangle divise chaque médiane en interne dans le rapport de 2:1.
AD, BC et CF sont les trois médianes d'un triangle ABC. Le segment de droite joignant le sommet au milieu du côté opposé d'un triangle est appelé médiane d'un triangle. Les trois médianes sont concourantes en G qui est appelé barycentre du triangle, alors \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)
- Altitude et orthocentre: L'orthocentre d'un triangle à angle aigu se situe à l'intérieur du triangle. L'orthocentre du triangle à angle obtus se situe à l'extérieur du triangle. L'orthocentre du triangle rectangle se trouve au sommet, où le triangle est un angle droit. Un segment de droite tiré d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé d'un triangle est appelé une altitude du triangle. Les trois altitudes sont concourantes en un point appelé orthocentre.
AD, BE et CF sont les trois hauteurs du triangle ABC. H est l'orthocentre du triangle. Ici, comme △ ABC est un triangle à angle aigu, l'orthocentre se trouve à l'intérieur du triangle.
Les hauteurs d'un triangle équilatéral sont égales. Les altitudes des côtés égaux d'un triangle isocèle sont égales.
Exemple 1 : Indiquez si le triangle suivant est rectangle ou non.
Vérifiez si 13 2 = 5 2 + 12 2
Comme il satisfait le théorème de Pythagore, le triangle donné est donc un triangle rectangle.
Exemple 2 : Trouver ∠x dans la figure donnée.
∠x = 40 + 60 = 100° ( La mesure de l'angle extérieur d'un triangle est égale à la somme des angles intérieurs correspondants.)
