Back to the topics list

teoremi o trokutima

U ovoj lekciji ćemo pokriti neke važne teoreme o trokutima.

• Ako su dvije stranice trokuta nejednake duljine, tada veća stranica ima veći kut nasuprot sebi. Obrnuto, ako su dva kuta trokuta nejednakih mjera, tada veći kut ima veću stranicu nasuprot njemu.
  

AB > AC ⇒ Prema tome, ∠ACB > ∠ABC [Kutovi suprotni stranicama AB i AC]

Obrnuto, kao ∠BAC > ∠ABC ⇒ Prema tome, BC > AC [stranice suprotne kutu A i B]

Korolari

1. Zbroj duljina bilo koje dvije stranice trokuta veći je od duljine treće stranice.
2. Razlika između duljina bilo koje dvije stranice trokuta manja je od duljine treće stranice.

• Pitagorin teorem: U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata preostale dvije stranice.

△ABC je pravokutni trokut gdje je ∠C = 90°, AB hipotenuza, tada
AB ² = AC ² + BC ²

• Isječak koji spaja središta dviju stranica trokuta paralelan je s trećom stranicom i jednak je njezinoj polovici.

D je polovište AB i E je polovište AC, zatim DE || BC i DE = ½ BC

• Mjera vanjskog kuta trokuta jednaka je zbroju odgovarajućih unutarnjih kutova.

Vanjski kut ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Simetrala kuta i središte upisa: Središte upisanog trokuta uvijek leži u unutrašnjosti trokuta. Pravac koji raspolavlja bilo koji unutarnji kut trokuta naziva se njegova simetrala kuta, a točka u kojoj se susreću tri simetrale kuta naziva se središtem upisa trokuta.

AD, BE i CF tri su simetrale kutova trokuta ABC. Tri simetrale kuta simultane su u točki I koja se naziva središtem upisa trokuta. Točka I uvijek će ležati u unutrašnjosti trokuta.

• Medijan i centroid: Središte trokuta dijeli svaki medijan iznutra u omjeru 2:1.

AD, BC i CF tri su središnje strane trokuta ABC. Isječak koji povezuje vrh sa središtem suprotne stranice trokuta naziva se središnja trokuta. Tri medijana su istovremeno u G što se naziva težište trokuta, tada \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Nadmorska visina i ortocentar: ortocentar oštrokutnog trokuta nalazi se u unutrašnjosti trokuta. Ortocentar tupokutnog trokuta nalazi se u vanjskoj strani trokuta. Ortocentar pravokutnog trokuta nalazi se u vrhu, gdje je trokut pravi kut. Isječak povučen iz vrha, okomito na suprotnu stranicu trokuta, naziva se visina trokuta. Tri visine su istodobne u točki koja se naziva ortocentar.

AD, BE i CF su tri visine trokuta ABC. H je ortocentar trokuta. Ovdje kako je △ ABC šiljastokutni trokut, stoga se ortocentar nalazi unutar trokuta.

Visine jednakostraničnog trokuta su jednake. Visine jednakih stranica jednakokračnog trokuta su jednake.

Primjer 1: Navedite je li sljedeći trokut pravokutan ili ne.

Provjerite je li 13 ² = 5 ² + 12 ²

Budući da zadovoljava Pitagorin teorem, dati trokut je pravokutni trokut.

Primjer 2: Pronađite ∠x na danoj slici.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Mjera vanjskog kuta trokuta jednaka je zbroju odgovarajućih unutarnjih kutova.)