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teoremi sui triangoli

In questa lezione tratteremo alcuni importanti teoremi sui triangoli.

• Se due lati di un triangolo hanno lunghezze diverse, allora il lato maggiore ha l'angolo maggiore opposto ad esso. Viceversa, se due angoli di un triangolo sono di misure diverse, allora l'angolo maggiore ha il lato maggiore opposto.
  

AB > AC ⇒ Quindi, ∠ACB > ∠ABC [Angoli opposti ai lati AB e AC]

Viceversa, poiché ∠BAC > ∠ABC ⇒ Pertanto, BC > AC [Lati opposti all'angolo A e B]

corollari

1. La somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo è maggiore della lunghezza del terzo lato.
2. La differenza tra le lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo è minore della lunghezza del terzo lato.

• Teorema di Pitagora: In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei restanti due lati.

△ABC è un triangolo rettangolo dove ∠C = 90°, AB è l'ipotenusa quindi
AB ² = AC ² + BC ²

• Il segmento di retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato e uguale alla metà di esso.

D è il punto medio di AB ed E è il punto medio di AC, quindi DE || BC e DE = ½ BC

• La misura dell'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei corrispondenti angoli interni.

Angolo esterno ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Bisettrice angolare e incentro: L'incentro del triangolo si trova sempre all'interno di un triangolo. Una linea che biseca un angolo interno di un triangolo è chiamata bisettrice angolare e il punto in cui le tre bisettrici angolari si incontrano è chiamato incentro del triangolo.

AD, BE e CF sono le tre bisettrici angolari del triangolo ABC. Le tre bisettrici angolari sono concorrenti nel punto I che si dice incentro del triangolo. Il punto che giacerò sempre all'interno di un triangolo.

• Mediana e centroide: il centroide di un triangolo divide ciascuna mediana internamente nel rapporto di 2:1.

AD, BC e CF sono le tre mediane di un triangolo ABC. Il segmento di linea che unisce il vertice al punto medio del lato opposto di un triangolo è chiamato mediana di un triangolo. Le tre mediane sono concorrenti in G che è detto baricentro del triangolo, quindi \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Altitudine e ortocentro: L'ortocentro di un triangolo ad angolo acuto si trova all'interno del triangolo. L'ortocentro del triangolo ad angolo ottuso si trova all'esterno del triangolo. L'ortocentro del triangolo rettangolo si trova nel vertice, dove il triangolo è un angolo retto. Un segmento di linea disegnato da un vertice, perpendicolare al lato opposto di un triangolo è chiamato altezza del triangolo. Le tre altezze sono concorrenti in un punto chiamato ortocentro.

AD, BE e CF sono le tre altezze del triangolo ABC. H è l'ortocentro del triangolo. Qui come △ ABC è un triangolo ad angolo acuto quindi l'ortocentro giace all'interno del triangolo.

Le altezze di un triangolo equilatero sono uguali. Le altezze ai lati uguali di un triangolo isoscele sono uguali.

Esempio 1: Indica se il seguente triangolo è rettangolo oppure no.

Controlla se 13 ² = 5 ² + 12 ²

Poiché soddisfa il teorema di Pitagora, quindi, il triangolo dato è un triangolo rettangolo.

Esempio 2: trova ∠x nella figura data.

∠x = 40 + 60 = 100° ( La misura dell'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei corrispondenti angoli interni.)