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三角形の定理

このレッスンでは、三角形に関するいくつかの重要な定理について説明します。

• 三角形の 2 辺の長さが等しくない場合、大きい方の辺の反対側の角度が大きくなります。逆に、三角形の 2 つの角の大きさが等しくない場合は、大きい方の角の反対側が大きい方の辺になります。
  

AB > AC ⇒ したがって ∠ACB > ∠ABC [AB と AC の反対側の角度]

逆に ∠BAC > ∠ABC ⇒ したがって BC > AC [角 A と B の反対側]

当然の帰結

1. 三角形の任意の 2 辺の長さの合計は、3 番目の辺の長さよりも大きくなります。
2. 三角形の任意の 2 辺の長さの差は、3 番目の辺の長さよりも小さくなります。

• ピタゴラスの定理: 直角三角形では、斜辺の 2 乗は、残りの 2 辺の 2 乗の和に等しくなります。

△ABC は∠C = 90° の直角三角形、AB は斜辺です。
AB ² = AC ² + BC ²

• 三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分は、3 番目の辺に平行で、その 2 分の 1 に等しくなります。

D は AB の中点、E は AC の中点、そして DE || BC と DE = ½ BC

• 三角形の外角の大きさは、対応する内角の和に等しくなります。

外角 ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• 角二等分線と内心: 三角形の内心は常に三角形の内部にあります。三角形の内角を二等分する線は角二等分線と呼ばれ、3 つの角二等分線が交わる点は三角形の内心と呼ばれます。

AD、BE、CF は、三角形 ABC の 3 つの角二等分線です。 3 つの角二等分線は、三角形の内心と呼ばれる点 I で一致します。私が常に三角形の内側にある点。

• 中央値と重心: 三角形の重心は、各中央値を 2:1 の比率で内部分割します。

AD、BC、CF は、三角形 ABC の 3 つの中線です。三角形の対辺の中点と頂点を結ぶ線分を三角形の中線といいます。 3 つの中央値は、三角形の重心と呼ばれる G で一致し、 \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• 高度と垂心: 鋭角三角形の垂心は、三角形の内部にあります。鈍角三角形の垂心は、三角形の外側にあります。直角三角形の垂心は、三角形が直角である頂点にあります。頂点から三角形の対辺に垂直に引いた線分を三角形の高さといいます。 3 つの高度は、オルソセンターと呼ばれるポイントで同時に発生します。

AD、BE、CF は、三角形 ABC の 3 つの高度です。 H は三角形の垂心です。ここで△ ABCは鋭角三角形なので、垂心は三角形の内側にあります。

正三角形の高さは同じです。二等辺三角形の同じ辺の高さは同じです。

例 1:次の三角形が直角であるかどうかを述べます。

13 ² = 5 ² + 12 ²かどうかを確認します

ピタゴラスの定理を満たすので、与えられた三角形は直角三角形です。

例 2:与えられた図で ∠x を見つけます。

∠x = 40 + 60 = 100° (三角形の外角の大きさは、対応する内角の和に等しい.)