Во оваа лекција, ќе опфатиме некои важни теореми за триаголниците.
- Ако двете страни на триаголникот се со нееднакви должини, тогаш поголемата страна има поголем агол спроти него. Спротивно на тоа, ако два агли на триаголник се со нееднакви мерки, тогаш поголемиот агол ја има поголемата страна спротивна на него.
AB > AC ⇒ Затоа, ∠ACB > ∠ABC [Агли спроти страните AB и AC]
Спротивно на тоа, како ∠BAC > ∠ABC ⇒ Затоа, BC > AC [Страните спротивни на аголот A и B]
Последици
- Збирот на должините на кои било две страни на триаголникот е поголем од должината на третата страна.
- Разликата помеѓу должините на кои било две страни на триаголникот е помала од должината на третата страна.
- Теорема на Питагора: Во правоаголен триаголник, квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на преостанатите две страни.
△ABC е правоаголен триаголник каде што ∠C = 90°, AB е хипотенуза тогаш
AB 2 = AC 2 + BC 2
- Линиската отсечка што ги спојува средните точки на двете страни на триаголникот е паралелна со третата страна и еднаква на една половина од неа.
D е средната точка на AB и E е средната точка на AC, потоа DE || п.н.е. и ДЕ = ½ п.н.е
- Мерката на надворешниот агол на триаголникот е еднаква на збирот на соодветните внатрешни агли.
Надворешен агол ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB
- Аголна симетрала и центар: Центарот на триаголникот секогаш лежи во внатрешноста на триаголникот. Правата што го преполовува секој внатрешен агол на триаголникот се нарекува негова аголна симетрала, а точката во која се среќаваат трите аголни симетрали се нарекува средиште на триаголникот.
AD, BE и CF се трите аголни симетрали на триаголникот ABC. Трите аголни симетрали се исти во точката I која се нарекува центар на триаголникот. Точката што секогаш ќе ја лежам во внатрешноста на триаголникот.
- Медијана и центар: Центарот на триаголникот ја дели секоја средина внатрешно во однос 2:1.
AD, BC и CF се трите посредини на триаголникот ABC. Линиската отсечка што го спојува темето со средината на спротивната страна на триаголникот се нарекува средина на триаголникот. Трите медијани се истовремени во G, кој се нарекува центар на триаголникот, потоа \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)
- Надморска височина и ортоцентар: Ортоцентарот на триаголникот со остар агол лежи во внатрешноста на триаголникот. Ортоцентарот на триаголникот со тап агол лежи во надворешноста на триаголникот. Ортоцентарот на правоаголниот триаголник лежи на темето, каде што триаголникот е прав агол. Линиска отсечка извлечена од теме, нормална на спротивната страна на триаголникот се нарекува надморска височина на триаголникот. Трите височини се исти во точка наречена ортоцентар.
AD, BE и CF се трите височини на триаголникот ABC. H е ортоцентар на триаголникот. Овде, бидејќи △ ABC е триаголник со остар агол, па затоа ортоцентарот лежи во триаголникот.
Висините на рамностран триаголник се еднакви. Висините на еднаквите страни на рамнокрак триаголник се еднакви.
Пример 1: Наведете дали следниот триаголник е правоаголен или не.
Проверете дали 13 2 = 5 2 + 12 2
Затоа што ја задоволува теоремата на Питагора, дадениот триаголник е правоаголен триаголник.
Пример 2: Најдете ∠x на дадената слика.
∠x = 40 + 60 = 100° ( Мерката на надворешниот агол на триаголникот е еднаква на збирот на соодветните внатрешни агли.)
