Back to the topics list

гурвалжин дээрх теоремууд

Энэ хичээлээр бид гурвалжны талаарх чухал теоремуудыг авч үзэх болно.

• Хэрэв гурвалжны хоёр тал нь тэгш бус урттай бол том тал нь түүний эсрэг талд илүү их өнцөгтэй байна. Үүний эсрэгээр, гурвалжны хоёр өнцөг нь тэгш бус хэмжээтэй байвал том өнцөг нь түүний эсрэг тал нь их байна.
  

AB > AC ⇒ Иймд ∠ACB > ∠ABC [AB ба AC талын эсрэг талын өнцөг]

Үүний эсрэгээр, ∠BAC > ∠ABC ⇒ Тиймээс BC > AC [А ба В өнцгийн эсрэг талын талууд]

Үр дүн

1. Гурвалжны аль ч хоёр талын уртын нийлбэр нь гурав дахь талын уртаас их байна.
2. Гурвалжны аль ч хоёр талын уртын зөрүү нь гурав дахь талын уртаас бага байна.

• Пифагорын теорем: Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь үлдсэн хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

△ABC нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд ∠C = 90°, AB нь гипотенуз юм.
AB ² = AC ² + BC ²

• Гурвалжны хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон шугамын хэсэг нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний талтай тэнцүү байна.

D нь AB-ийн дунд цэг, E нь АС-ийн дунд цэг, дараа нь DE || BC ба DE = ½ BC

• Гурвалжны гадна талын өнцгийн хэмжээ нь харгалзах дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гадна өнцөг ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Өнцгийн биссектрис ба төвлүүр: Гурвалжны төв нь үргэлж гурвалжны дотоод хэсэгт байрладаг. Гурвалжны аль ч дотоод өнцгийг хоёр хуваасан шулууныг өнцгийн биссектриса, гурван өнцгийн биссектрис нийлэх цэгийг гурвалжны төв гэнэ.

AD, BE, CF нь ABC гурвалжны гурван өнцөгт биссектриса юм. Гурван өнцөгт биссектриса нь гурвалжны төв гэж нэрлэгддэг I цэг дээр зэрэгцэн оршдог. Би үргэлж гурвалжингийн дотоод хэсэгт байх болно.

• Медиан ба центроид: Гурвалжны төв нь медиан тус бүрийг 2:1 харьцаагаар дотроо хуваадаг.

AD, BC, CF нь ABC гурвалжны гурван медиан юм. Гурвалжны эсрэг талын дунд цэгийг оройг холбосон шугамыг гурвалжны медиан гэнэ. Гурван медиан нь гурвалжны төв гэж нэрлэгддэг G цэгт зэрэгцэн оршдог бөгөөд дараа нь \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Өндөр ба ортоцентр: Хурц өнцөгт гурвалжны ортот төв нь гурвалжны дотоод хэсэгт байрладаг. Мохоо өнцөгт гурвалжны орто төв нь гурвалжны гадна талд байрладаг. Тэгш өнцөгт гурвалжны ортотөв нь орой дээр байрладаг ба гурвалжин нь тэгш өнцөгт байна. Гурвалжны эсрэг талд перпендикуляр оройноос татсан шугамыг гурвалжны өндөр гэнэ. Гурван өндөр нь ортоцентр гэж нэрлэгддэг цэг дээр зэрэгцэн оршдог.

AD, BE, CF нь ABC гурвалжны гурван өндөр юм. H нь гурвалжны орток төв юм. Энд △ ABC нь хурц өнцөгт гурвалжин тул ортот төв нь гурвалжин дотор байрладаг.

Тэгш талт гурвалжны өндөр нь тэнцүү байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш талуудын өндөр нь тэнцүү байна.

Жишээ 1: Дараах гурвалжин тэгш өнцөгт үү, үгүй ​​юу гэдгийг хэл.

13 ² = 5 ² + 12 ² эсэхийг шалгана уу

Пифагорын теоремыг хангаж байгаа тул өгөгдсөн гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно.

Жишээ 2: Өгөгдсөн зураг дээрх ∠x-г ол.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Гурвалжны гадна өнцгийн хэмжээ нь харгалзах дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.)