Back to the topics list

त्रिकोण मा प्रमेय

यस पाठमा, हामी त्रिभुजमा केही महत्त्वपूर्ण प्रमेयहरू समावेश गर्नेछौं।

• यदि त्रिभुजका दुई पक्षहरू असमान लम्बाइका छन् भने, ठूलो पक्षमा यसको विपरीत ठूलो कोण हुन्छ। यसको विपरित, यदि त्रिभुजका दुई कोणहरू असमान नापका छन् भने, ठूलो कोणमा यसको विपरीत पक्ष हुन्छ।
  

AB > AC ⇒ त्यसैले, ∠ACB > ∠ABC [एबी र AC को विपरित कोण]

यसको विपरित, ∠BAC > ∠ABC ⇒ त्यसैले, BC > AC [कोण A र B को विपरित पक्षहरू]

परिणामहरू

1. त्रिभुजको कुनै पनि दुई पक्षको लम्बाइको योग तेस्रो पक्षको लम्बाइभन्दा ठूलो हुन्छ।
2. त्रिभुजको कुनै पनि दुई पक्षको लम्बाइ बीचको भिन्नता तेस्रो पक्षको लम्बाइभन्दा कम हुन्छ।

• पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिकोणमा, कर्णको वर्ग बाँकी दुई पक्षहरूको वर्गहरूको योगफल बराबर हुन्छ।

△ABC एक समकोण त्रिकोण हो जहाँ ∠C = 90°, AB कर्ण हो
AB ² = AC ² + BC ²

• त्रिभुजको दुई तिरका मध्य बिन्दुहरू जोड्ने रेखा खण्ड तेस्रो पक्षको समानान्तर र यसको आधा भाग बराबर हुन्छ।

D AB को मध्य बिन्दु हो र E AC को मध्य बिन्दु हो, त्यसपछि DE || BC र DE = ½ BC

• त्रिभुजको बाहिरी कोणको नाप सम्बन्धित भित्री कोणहरूको योगफल बराबर हुन्छ।

बाहिरी कोण ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• कोणीय द्विभाजक र केन्द्रक: त्रिभुजको केन्द्रबिन्दु सधैं त्रिभुजको भित्री भागमा हुन्छ। त्रिभुजको कुनै पनि भित्री कोणलाई बिभाजित गर्ने रेखालाई यसको कोणीय द्विभाजक भनिन्छ र तीनवटा कोणीय द्विभाजक मिल्ने बिन्दुलाई त्रिभुजको केन्द्रबिन्दु भनिन्छ।

AD, BE, र CF त्रिभुज ABC को तीन कोणीय द्विभाजक हुन्। तीन कोणीय द्विभाजक बिन्दु I मा समवर्ती हुन्छन् जसलाई त्रिभुजको केन्द्रबिन्दु भनिन्छ। बिन्दु म सधैं त्रिभुजको भित्री भागमा बस्नेछु।

• मध्यक र सेन्ट्रोइड: त्रिभुजको सेन्ट्रोइडले प्रत्येक मध्यलाई 2:1 को अनुपातमा आन्तरिक रूपमा विभाजित गर्दछ।

AD, BC, र CF त्रिभुज ABC को तीन माध्यक हुन्। त्रिभुजको विपरित पार्श्वको मध्य बिन्दुमा शीर्षलाई जोड्ने रेखा खण्डलाई त्रिभुजको मध्यक भनिन्छ। तीन माध्यहरू G मा समवर्ती हुन्छन् जसलाई त्रिभुजको केन्द्रक भनिन्छ, त्यसपछि \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• उचाइ र अर्थोकेन्द्र: तीव्र-कोण त्रिभुजको अर्थोसेन्टर त्रिभुजको भित्री भागमा हुन्छ। कुरूप-कोण त्रिभुजको अर्थोसेन्टर त्रिभुजको बाहिरी भागमा हुन्छ। दायाँ-कोण त्रिकोणको अर्थोसेन्टर शीर्षमा अवस्थित छ, जहाँ त्रिकोण समकोण हो। त्रिभुजको विपरित छेउमा लम्बवत ठाँउबाट कोरिएको रेखा खण्डलाई त्रिभुजको उचाइ भनिन्छ। तीनवटा उचाइहरू अर्थोसेन्टर भनिने बिन्दुमा समवर्ती हुन्छन्।

AD, BE र CF त्रिभुज ABC को तीन उचाइहरू हुन्। H त्रिभुजको अर्थोकेन्द्र हो। यहाँ △ ABC एक तीव्र-कोण त्रिकोण हो त्यसैले अर्थोसेन्टर त्रिभुज भित्र छ।

समभुज त्रिभुजको उचाइ बराबर हुन्छ। समद्विबाहु त्रिभुजको बराबर पक्षहरूको उचाइ बराबर हुन्छ।

उदाहरण १: तलको त्रिभुज समकोण छ वा छैन भनी बताउनुहोस्।

यदि 13 ² = 5 ² + 12 ² छ भने जाँच गर्नुहोस्

यसले पाइथागोरस प्रमेयलाई सन्तुष्ट पारेको हुनाले, दिइएको त्रिकोण समकोण त्रिभुज हो।

उदाहरण २: दिइएको चित्रमा ∠x फेला पार्नुहोस्।

∠x = 40 + 60 = 100° ( त्रिकोणको बाहिरी कोणको नाप सम्बन्धित भित्री कोणहरूको योगफल बराबर हुन्छ।)