In deze les gaan we enkele belangrijke stellingen over driehoeken behandelen.
- Als twee zijden van een driehoek ongelijke lengte hebben, dan heeft de grotere zijde de grootste hoek tegenover zich. Omgekeerd, als twee hoeken van een driehoek ongelijke afmetingen hebben, dan heeft de grotere hoek de grotere zijde tegenover zich.
AB > AC ⇒ Daarom ∠ACB > ∠ABC [Hoeken tegenover zijde AB en AC]
Omgekeerd, als ∠BAC > ∠ABC ⇒ Daarom BC > AC [zijden tegengesteld aan hoek A en B]
uitvloeisels
- De som van de lengtes van twee zijden van een driehoek is groter dan de lengte van de derde zijde.
- Het verschil tussen de lengtes van twee zijden van een driehoek is kleiner dan de lengte van de derde zijde.
- Stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de resterende twee zijden.
△ABC is een rechthoekige driehoek waarbij ∠C = 90°, AB is dan de hypotenusa
AB 2 = AC 2 + BC 2
- Het lijnsegment dat de middelpunten van twee zijden van een driehoek verbindt, is evenwijdig aan de derde zijde en gelijk aan de helft ervan.
D is het middelpunt van AB en E is het middelpunt van AC, dan is DE || BC en DE = ½ BC
- De maat van de buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de overeenkomstige binnenhoeken.
Buitenhoek ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB
- Hoekbissectrice en Incenter: Het incenter van de driehoek ligt altijd in het binnenste van een driehoek. Een lijn die een willekeurige binnenhoek van een driehoek doorsnijdt, wordt de bissectrice genoemd en het punt waarop de drie bissectrices elkaar ontmoeten, wordt het middelpunt van de driehoek genoemd.
AD, BE en CF zijn de drie bissectrices van driehoek ABC. De drie bissectrices zijn concurrent in punt I, dat het incenter van de driehoek wordt genoemd. Het punt I zal altijd in het binnenste van een driehoek liggen.
- Mediaan en zwaartepunt: het zwaartepunt van een driehoek verdeelt elke mediaan intern in de verhouding van 2: 1.
AD, BC en CF zijn de drie medianen van een driehoek ABC. Het lijnsegment dat het hoekpunt verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde van een driehoek, wordt een mediaan van een driehoek genoemd. De drie medianen zijn gelijktijdig in G, wat het zwaartepunt van de driehoek wordt genoemd, dan \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)
- Hoogte en orthocentrum: Het orthocentrum van een scherphoekige driehoek ligt in het binnenste van de driehoek. Het orthocentrum van de stomphoekige driehoek ligt aan de buitenkant van de driehoek. Het orthocentrum van de rechthoekige driehoek ligt op het hoekpunt, waar de driehoek een rechte hoek is. Een lijnstuk getrokken vanuit een hoekpunt, loodrecht op de tegenoverliggende zijde van een driehoek, wordt een hoogte van de driehoek genoemd. De drie hoogten zijn gelijktijdig op een punt dat het orthocentrum wordt genoemd.
AD, BE en CF zijn de drie hoogten van driehoek ABC. H is het orthocentrum van de driehoek. Hier, aangezien △ ABC een scherphoekige driehoek is, ligt het orthocentrum binnen de driehoek.
De hoogten van een gelijkzijdige driehoek zijn gelijk. De hoogten aan de gelijke zijden van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk.
Voorbeeld 1: Geef aan of de volgende driehoek al dan niet rechthoekig is.
Controleer of 13 2 = 5 2 + 12 2
Omdat het voldoet aan de stelling van Pythagoras, is de gegeven driehoek daarom een rechthoekige driehoek.
Voorbeeld 2: Vind ∠x in de gegeven figuur.
∠x = 40 + 60 = 100° ( De maat van de buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de overeenkomstige binnenhoeken.)
