Back to the topics list

twierdzenia o trójkątach

W tej lekcji omówimy kilka ważnych twierdzeń dotyczących trójkątów.

• Jeżeli dwa boki trójkąta są nierównej długości, to większy bok ma przeciwległy większy kąt. I odwrotnie, jeśli dwa kąty trójkąta mają nierówne miary, to większy kąt ma większy bok przeciwny do niego.
  

AB > AC ⇒ Zatem ∠ACB > ∠ABC [Kąty przeciwległe do boku AB i AC]

Odwrotnie, ponieważ ∠BAC > ∠ABC ⇒ Zatem BC > AC [Boki przeciwległe do kątów A i B]

Wnioski

1. Suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest większa niż długość trzeciego boku.
2. Różnica długości dowolnych dwóch boków trójkąta jest mniejsza niż długość trzeciego boku.

• Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków.

△ABC jest trójkątem prostokątnym, gdzie ∠C = 90°, AB jest wtedy przeciwprostokątną
AB ² = AC ² + BC ²

• Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do ​​trzeciego boku i równy jego połowie.

D jest środkiem odcinka AB, a E jest środkiem odcinka AC, a następnie DE || pne i DE = ½ pne

• Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie odpowiednich kątów wewnętrznych.

Kąt zewnętrzny ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Kątowa dwusieczna i Incenter: Środek trójkąta zawsze leży we wnętrzu trójkąta. Linia przecinająca dowolny kąt wewnętrzny trójkąta nazywana jest jego dwusieczną kątową, a punkt, w którym spotykają się trzy dwusieczne kątowe, nazywany jest środkiem trójkąta.

AD, BE i CF to trzy dwusieczne kątowe trójkąta ABC. Trzy dwusieczne kątowe są zbieżne w punkcie I, który jest nazywany środkiem trójkąta. Punkt I zawsze będzie leżał we wnętrzu trójkąta.

• Mediana i środek ciężkości: Środek ciężkości trójkąta dzieli wewnętrznie każdą środkową w stosunku 2:1.

AD, BC i CF to trzy środkowe trójkąta ABC. Odcinek linii łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku trójkąta nazywany jest medianą trójkąta. Trzy środkowe są zbieżne w punkcie G, który nazywa się środkiem ciężkości trójkąta, wtedy \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Wysokość i ortocentrum: Ortocentrum trójkąta o ostrych kątach leży wewnątrz trójkąta. Ortocentrum trójkąta rozwartokątnego leży na zewnątrz trójkąta. Ortocentrum trójkąta prostokątnego leży w wierzchołku, w którym trójkąt jest kątem prostym. Odcinek linii poprowadzony z wierzchołka prostopadłego do przeciwległego boku trójkąta nazywany jest wysokością trójkąta. Trzy wysokości są zbieżne w punkcie zwanym ortocentrum.

AD, BE i CF to trzy wysokości trójkąta ABC. H jest ortocentrum trójkąta. Ponieważ △ ABC jest trójkątem ostrokątnym, stąd ortocentrum leży wewnątrz trójkąta.

Wysokości trójkąta równobocznego są równe. Wysokości leżące na równych bokach trójkąta równoramiennego są równe.

Przykład 1: Określ, czy poniższy trójkąt jest prostokątny, czy nie.

Sprawdź, czy 13 ² = 5 ² + 12 ²

Ponieważ spełnia twierdzenie Pitagorasa, więc dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 2: Znajdź ∠x na podanym rysunku.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie odpowiednich kątów wewnętrznych).