Nesta lição, vamos cobrir alguns teoremas importantes sobre triângulos.
- Se dois lados de um triângulo são de comprimentos desiguais, então o lado maior tem o maior ângulo oposto a ele. Por outro lado, se dois ângulos de um triângulo são de medidas desiguais, então o maior ângulo tem o maior lado oposto a ele.
AB > AC ⇒ Portanto, ∠ACB > ∠ABC [Ângulos opostos aos lados AB e AC]
Por outro lado, como ∠BAC > ∠ABC ⇒ Portanto, BC > AC [Lados opostos ao ângulo A e B]
Corolários
- A soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.
- A diferença entre os comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo é menor que o comprimento do terceiro lado.
- Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos dois lados restantes.
△ABC é um triângulo retângulo onde ∠C = 90°, AB é a hipotenusa então
AB 2 = AC 2 + BC 2
- O segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade dele.
D é o ponto médio de AB e E é o ponto médio de AC, então DE || BC e DE = ½ BC
- A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos correspondentes.
Ângulo externo ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB
- Bissetriz e Incentro Angular: O incentro do triângulo está sempre no interior de um triângulo. Uma linha que corta qualquer ângulo interno de um triângulo é chamada de sua mediatriz angular e o ponto em que as três mediatrizes angulares se encontram é chamado de incentro do triângulo.
AD, BE e CF são as três bissetrizes angulares do triângulo ABC. As três mediatrizes angulares são concorrentes no ponto I que é chamado de incentro do triângulo. O ponto I estará sempre no interior de um triângulo.
- Mediana e Centroide: O centroide de um triângulo divide cada mediana internamente na proporção de 2:1.
AD, BC e CF são as três medianas de um triângulo ABC. O segmento de reta que une o vértice ao ponto médio do lado oposto de um triângulo é chamado de mediana de um triângulo. As três medianas são concorrentes em G, que é chamado de centroide do triângulo, então \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)
- Altitude e Ortocentro: O ortocentro de um triângulo de ângulo agudo encontra-se no interior do triângulo. O ortocentro do triângulo obtuso-ângulo encontra-se no exterior do triângulo. O ortocentro do triângulo retângulo está no vértice, onde o triângulo é um ângulo reto. Um segmento de reta desenhado a partir de um vértice, perpendicular ao lado oposto de um triângulo é chamado de altura do triângulo. As três altitudes são concorrentes em um ponto chamado ortocentro.
AD, BE e CF são as três alturas do triângulo ABC. H é o ortocentro do triângulo. Aqui como △ ABC é um triângulo de ângulo agudo, portanto, o ortocentro está dentro do triângulo.
As alturas de um triângulo equilátero são iguais. As alturas dos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais.
Exemplo 1: Diga se o triângulo a seguir é retângulo ou não.
Verifique se 13 2 = 5 2 + 12 2
Como satisfaz o teorema de Pitágoras, portanto, o triângulo dado é um triângulo retângulo.
Exemplo 2: Encontre ∠x na figura dada.
∠x = 40 + 60 = 100° ( A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos correspondentes.)
