Back to the topics list

теоремы о треугольниках

В этом уроке мы рассмотрим некоторые важные теоремы о треугольниках.

• Если две стороны треугольника неравной длины, то против большей стороны лежит больший угол. Наоборот, если два угла треугольника неравны, то больший угол имеет противолежащую ему большую сторону.
  

AB > AC ⇒ Следовательно, ∠ACB > ∠ABC [углы, противоположные сторонам AB и AC]

И наоборот, поскольку ∠BAC > ∠ABC ⇒ Следовательно, BC > AC [стороны, противоположные углам A и B]

Следствия

1. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
2. Разность длин любых двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны.

• Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух оставшихся сторон.

△ABC — прямоугольный треугольник, где ∠C = 90°, AB — гипотенуза, тогда
АВ ² = АС ² + ВС ²

• Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине.

D — середина AB, а E — середина AC, тогда DE || до н.э. и DE = ½ до н.э.

• Мера внешнего угла треугольника равна сумме соответствующих внутренних углов.

Внешний угол ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Биссектриса и вписанный центр: центр вписанного треугольника всегда лежит внутри треугольника. Прямая, которая делит любой внутренний угол треугольника пополам, называется его биссектрисой, а точка, в которой пересекаются три биссектрисы, называется центром треугольника.

AD, BE и CF — три биссектрисы треугольника ABC. Три биссектрисы пересекаются в точке I, которая называется центром треугольника. Точка I всегда будет лежать внутри треугольника.

• Медиана и центроид: центроид треугольника делит каждую медиану внутри в соотношении 2:1.

AD, BC и CF — три медианы треугольника ABC. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны треугольника, называется медианой треугольника. Три медианы совпадают в точке G, которая называется центром треугольника, тогда \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Высота и ортоцентр: ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит во внешней стороне треугольника. Ортоцентр прямоугольного треугольника лежит в вершине, где треугольник является прямым углом. Отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно противоположной стороне треугольника, называется высотой треугольника. Три высоты совпадают в точке, называемой ортоцентром.

AD, BE и CF — три высоты треугольника ABC. H - ортоцентр треугольника. Здесь, поскольку △ ABC - остроугольный треугольник, следовательно, ортоцентр лежит внутри треугольника.

Высоты равностороннего треугольника равны. Высоты равных сторон равнобедренного треугольника равны.

Пример 1: Укажите, является ли следующий треугольник прямоугольным или нет.

Проверить, если 13 ² = 5 ² + 12 ²

Поскольку он удовлетворяет теореме Пифагора, следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

Пример 2: Найдите ∠x на данном рисунке.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Внешний угол треугольника равен сумме соответствующих внутренних углов.)