Back to the topics list

teorema mbi trekëndëshat

Në këtë mësim, ne do të trajtojmë disa teorema të rëndësishme mbi trekëndëshat.

• Nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë me gjatësi të pabarabarta, atëherë brinja më e madhe ka këndin më të madh përballë tij. Në të kundërt, nëse dy kënde të një trekëndëshi janë me masa të pabarabarta, atëherë këndi më i madh ka anën më të madhe përballë tij.
  

AB > AC ⇒ Prandaj, ∠ACB > ∠ABC [Këndet përballë anës AB dhe AC]

Anasjelltas, si ∠BAC > ∠ABC ⇒ Prandaj, BC > AC [Anët përballë këndit A dhe B]

Pasojat

1. Shuma e gjatësive të çdo dy brinjësh të një trekëndëshi është më e madhe se gjatësia e brinjës së tretë.
2. Dallimi midis gjatësive të çdo dy brinjësh të një trekëndëshi është më i vogël se gjatësia e brinjës së tretë.

• Teorema e Pitagorës: Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të mbetura.

△ABC është një trekëndësh kënddrejtë ku ∠C = 90°, AB është hipotenuza atëherë
AB ² = AC ² + BC ²

• Segmenti i vijës që bashkon mesin e dy brinjëve të një trekëndëshi është paralel me anën e tretë dhe i barabartë me gjysmën e saj.

D është mesi i AB dhe E është mesi i AC, pastaj DE || BC dhe DE = ½ para Krishtit

• Masa e këndit të jashtëm të një trekëndëshi është e barabartë me shumën e këndeve të brendshme përkatëse.

Këndi i jashtëm ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Përgjysmues këndor dhe qendra: Qendra e trekëndëshit qëndron gjithmonë në brendësi të një trekëndëshi. Një vijë që përgjysmon çdo kënd të brendshëm të një trekëndëshi quhet përgjysmues këndor i tij dhe pika në të cilën takohen tre përgjysmuesit këndorë quhet qendër e trekëndëshit.

AD, BE dhe CF janë tre përgjysmuesit këndorë të trekëndëshit ABC. Tre përgjysmuesit këndorë janë të njëkohshëm në pikën I që quhet qendra e trekëndëshit. Pika që do të qëndroj gjithmonë në brendësi të një trekëndëshi.

• Mediana dhe qendra: Qendra e një trekëndëshi ndan çdo mesatare brenda në raportin 2:1.

AD, BC dhe CF janë tre mesataret e një trekëndëshi ABC. Segmenti i vijës që bashkon kulmin me pikën e mesit të anës së kundërt të një trekëndëshi quhet medianë e një trekëndëshi. Tre medianat janë të njëkohshme në G që quhet qendra e trekëndëshit, pastaj \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Lartësia dhe qendra ortoqendra: Ortoqendra e një trekëndëshi me kënd akut shtrihet në brendësi të trekëndëshit. Ortoqendra e trekëndëshit me kënd të trashë shtrihet në pjesën e jashtme të trekëndëshit. Ortoqendra e trekëndëshit kënddrejtë shtrihet në kulm, ku trekëndëshi është kënd i drejtë. Një segment vije i tërhequr nga një kulm, pingul me anën e kundërt të një trekëndëshi quhet lartësia e trekëndëshit. Të tre lartësitë janë të njëkohshme në një pikë të quajtur ortoqendër.

AD, BE dhe CF janë tre lartësitë e trekëndëshit ABC. H është ortoqendra e trekëndëshit. Këtu pasi △ ABC është një trekëndësh me kënd të mprehtë, prandaj qendra ortoqendra shtrihet brenda trekëndëshit.

Lartësitë e një trekëndëshi barabrinjës janë të barabarta. Lartësitë në brinjët e barabarta të një trekëndëshi dykëndësh janë të barabarta.

Shembulli 1: Tregoni nëse trekëndëshi i mëposhtëm është kënddrejtë apo jo.

Kontrolloni nëse 13 ² = 5 ² + 12 ²

Meqenëse plotëson teoremën e Pitagorës, trekëndëshi i dhënë është një trekëndësh kënddrejtë.

Shembulli 2: Gjeni ∠x në figurën e dhënë.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Matja e këndit të jashtëm të një trekëndëshi është e barabartë me shumën e këndeve të brendshme përkatëse.)