Back to the topics list

satser om trianglar

I den här lektionen kommer vi att täcka några viktiga satser om trianglar.

• Om två sidor i en triangel är olika långa, så har den större sidan den större vinkeln mitt emot sig. Omvänt, om två vinklar i en triangel har olika mått, så har den större vinkeln den större sidan mitt emot sig.
  

AB > AC ⇒ Därför, ∠ACB > ∠ABC [Vinklar motsatt sida AB och AC]

Omvänt, eftersom ∠BAC > ∠ABC ⇒ Därför, BC > AC [Sidor motsatta vinkel A och B]

Följderna

1. Summan av längderna av två sidor i en triangel är större än längden på den tredje sidan.
2. Skillnaden mellan längden på två sidor av en triangel är mindre än längden på den tredje sidan.

• Pythagoras sats: I en rätvinklig triangel är hypotenusans kvadrat lika med summan av kvadraterna på de återstående två sidorna.

△ABC är en rätvinklig triangel där ∠C = 90°, AB är hypotenusan då
AB ² = AC ² + BC ²

• Linjesegmentet som förenar mittpunkterna på två sidor av en triangel är parallellt med den tredje sidan och lika med hälften av den.

D är mittpunkten av AB och E är mittpunkten av AC, sedan DE || BC och DE = ½ BC

• Måttet på en triangels yttre vinkel är lika med summan av motsvarande inre vinklar.

Yttre vinkel ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Angular Bisector and Incenter: Triangelns centrum ligger alltid i det inre av en triangel. En linje som halverar en triangels inre vinkel kallas dess vinkelhalveringslinje och punkten där de tre vinkelhalveringslinjerna möts kallas triangelns mittpunkt.

AD, BE och CF är de tre vinkelhalvorna i triangeln ABC. De tre vinkelhalveringslinjerna är samtidiga i punkt I som kallas triangelns centrum . Punkten jag kommer alltid att ligga i det inre av en triangel.

• Median och Centroid: Centroiden i en triangel delar varje median internt i förhållandet 2:1.

AD, BC och CF är de tre medianerna i en triangel ABC. Linjesegmentet som förenar spetsen till mittpunkten på motsatt sida av en triangel kallas en triangels median. De tre medianerna är samtidiga vid G som kallas triangelns tyngdpunkt, då \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Höjd och ortocentrum: Ortocentrum för en spetsvinklig triangel ligger i triangelns inre. Ortocentret för den trubbvinklade triangeln ligger i triangelns yttre. Ortocentrum för den rätvinkliga triangeln ligger i spetsen, där triangeln är en rät vinkel. Ett linjesegment som dras från en vertex, vinkelrätt mot den motsatta sidan av en triangel kallas triangelns höjd. De tre höjderna är samtidiga vid en punkt som kallas ortocentrum.

AD, BE och CF är de tre höjderna av triangeln ABC. H är triangelns ortocentrum. Här som △ ABC är en spetsvinklad triangel, därför ligger ortocentret inuti triangeln.

Höjderna för en liksidig triangel är lika. Höjden till lika sidor av en likbent triangel är lika.

Exempel 1: Ange om följande triangel är rätvinklig eller inte.

Kontrollera om 13 ² = 5 ² + 12 ²

Eftersom den uppfyller Pythagoras sats är därför den givna triangeln en rätvinklig triangel.

Exempel 2: Hitta ∠x i den givna figuren.

∠x = 40 + 60 = 100° (måttet på en triangels yttre vinkel är lika med summan av motsvarande inre vinklar.)