Back to the topics list

nadharia kwenye pembetatu

Katika somo hili, tutashughulikia nadharia muhimu za pembetatu.

• Ikiwa pande mbili za pembetatu ni za urefu usio sawa, basi upande mkubwa una pembe kubwa zaidi kinyume chake. Kinyume chake, ikiwa pembe mbili za pembetatu ni za hatua zisizo sawa, basi pembe kubwa ina upande mkubwa zaidi kinyume chake.
  

AB > AC ⇒ Kwa hivyo, ∠ACB > ∠ABC [Pembe kinyume na AB na AC]

Kinyume chake, kama ∠BAC > ∠ABC ⇒ Kwa hivyo, BC > AC [Pande kinyume na pembe A na B]

Corollaries

1. Jumla ya urefu wa pande zote mbili za pembetatu ni kubwa kuliko urefu wa upande wa tatu.
2. Tofauti kati ya urefu wa pande zote mbili za pembetatu ni chini ya urefu wa upande wa tatu.

• Nadharia ya Pythagoras: Katika pembetatu yenye pembe ya kulia, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya pande mbili zilizobaki.

△ABC ni pembetatu yenye pembe ya kulia ambapo ∠C = 90°, AB ni hypotenuse basi
AB ² = AC ² + BC ²

• Sehemu ya mstari inayounganisha katikati ya pande mbili za pembetatu ni sawa na upande wa tatu na ni sawa na nusu yake.

D ni sehemu ya katikati ya AB na E ni sehemu ya katikati ya AC, kisha DE || BC na DE = ½ KK

• Kipimo cha pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe za ndani zinazofanana.

Pembe ya nje ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Angular Bisector na Kisisitizi: Kiini cha pembetatu daima kiko ndani ya pembetatu. Mstari unaotenganisha pembe yoyote ya ndani ya pembetatu inaitwa kipenyo chake cha pembetatu na mahali ambapo sehemu tatu za angular hukutana inaitwa kitovu cha pembetatu.

AD, BE, na CF ni viambata viwili vya angular vya pembetatu ABC. Visekta vitatu vya angular vinafanana katika hatua ya I ambayo inaitwa kitovu cha pembetatu. Hatua nitalala daima katika mambo ya ndani ya pembetatu.

• Kati na Centroid: Senti ya pembetatu inagawanya kila wastani ndani kwa uwiano wa 2:1.

AD, BC, na CF ni vipatanishi vitatu vya pembetatu ABC. Sehemu ya mstari inayounganisha kipeo hadi katikati ya upande wa kinyume cha pembetatu inaitwa wastani wa pembetatu. Wastani tatu zinafanana katika G inayoitwa katikati ya pembetatu, kisha \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Mwinuko na Orthocenter: Sehemu ya katikati ya pembetatu yenye pembe kali iko katika sehemu ya ndani ya pembetatu. Kiini cha pembetatu ya pembetatu kiko nje ya pembetatu. Sehemu ya katikati ya pembetatu ya kulia iko kwenye vertex, ambapo pembetatu ni pembe ya kulia. Sehemu ya mstari inayotolewa kutoka kwa vertex, perpendicular kwa upande wa kinyume wa pembetatu inaitwa urefu wa pembetatu. Miinuko mitatu inafanana katika sehemu inayoitwa orthocenter.

AD, BE na CF ni miinuko mitatu ya pembetatu ABC. H ni orthocenter ya pembetatu. Hapa kama △ ABC ni pembetatu yenye pembe kali kwa hivyo orthocenter iko ndani ya pembetatu.

Miinuko ya pembetatu ya usawa ni sawa. Miinuko kwa pande sawa za pembetatu ya isosceles ni sawa.

Mfano 1: Taja ikiwa pembetatu ifuatayo ina pembe ya kulia au la.

Angalia ikiwa 13 ² = 5 ² + 12 ²

Kwa kuwa inakidhi nadharia ya Pythagoras, kwa hivyo, pembetatu iliyotolewa ni pembetatu ya kulia.

Mfano wa 2: Tafuta ∠x katika takwimu uliyopewa.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Kipimo cha pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe za ndani zinazolingana.)