Back to the topics list

üçgenler üzerinde teoremler

Bu derste, üçgenlerle ilgili bazı önemli teoremleri ele alacağız.

• Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları eşit değilse, büyük kenarın karşısındaki açısı daha büyük olur. Tersine, bir üçgenin iki açısının ölçüleri eşit değilse, o zaman daha büyük olan açının karşısında daha büyük taraf vardır.
  

AB > AC ⇒ Dolayısıyla, ∠ACB > ∠ABC [AB ve AC kenarlarının karşısındaki açılar]

Tersine, ∠BAC > ∠ABC ⇒ olduğundan, BC > AC [A ve B açısının karşısındaki kenarlar]

Sonuçlar

1. Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan büyüktür.
2. Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları arasındaki fark, üçüncü kenarın uzunluğundan küçüktür.

• Pisagor Teoremi: Dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesi, kalan iki kenarın karelerinin toplamına eşittir.

△ABC dik açılı bir üçgendir, burada ∠C = 90°, AB hipotenüstür.
AB ² = AC ² + BC ²

• Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paraleldir ve kenarın yarısına eşittir.

D, AB'nin orta noktası ve E, AC'nin orta noktasıdır, ardından DE || BC ve DE = ½ BC

• Bir üçgenin dış açısının ölçüsü, karşılık gelen iç açılarının toplamına eşittir.

Dış açı ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Açıortay ve İç Merkez: Üçgenin iç merkezi her zaman bir üçgenin iç kısmında yer alır. Bir üçgenin herhangi bir iç açısını ikiye bölen doğruya açıortay denir ve üç açıortayın birleştiği noktaya üçgenin iç merkezi denir.

AD, BE ve CF, ABC üçgeninin açıortaylarıdır. Üç açıortay , üçgenin iç merkezi olarak adlandırılan I noktasında eşzamanlıdır. I noktası her zaman bir üçgenin iç kısmındadır.

• Medyan ve Centroid: Bir üçgenin ağırlık merkezi, her medyanı dahili olarak 2:1 oranında böler.

AD, BC ve CF bir ABC üçgeninin ortancalarıdır. Bir üçgenin köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına üçgenin ortancası denir. Üç medyan, üçgenin merkez noktası olarak adlandırılan G noktasında eşzamanlıdır, o zaman \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Yükseklik ve Ortomerkez: Dar açılı bir üçgenin ortomerkez, üçgenin iç kısmında yer alır. Geniş açılı üçgenin diklik merkezi, üçgenin dış tarafındadır. Dik açılı üçgenin diklik merkezi, üçgenin dik açı olduğu tepe noktasında bulunur. Bir üçgenin bir köşesinden çizilen ve bir üçgenin karşı kenarına dik olan doğru parçasına üçgenin yüksekliği denir. Üç irtifa, ortocenter adı verilen bir noktada eşzamanlıdır.

AD, BE ve CF ABC üçgeninin üç yüksekliğidir. H, üçgenin ortomerkezidir. Burada △ ABC dar açılı bir üçgen olduğundan ortomerkez üçgenin içindedir.

Eşkenar üçgenin yükseklikleri birbirine eşittir. Bir ikizkenar üçgenin eşit kenarlarına olan yükseklikler eşittir.

Örnek 1: Aşağıdaki üçgenin dik açılı olup olmadığını belirtiniz.

13 ² = 5 ² + 12 ² olup olmadığını kontrol edin

Pisagor teoremini sağladığı için verilen üçgen dik açılı bir üçgendir.

Örnek 2: Verilen şekilde ∠x'i bulun.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Bir üçgenin bir dış açısının ölçüsü, karşılık gelen iç açılarının toplamına eşittir.)