Back to the topics list

теореми про трикутники

У цьому уроці ми розглянемо деякі важливі теореми про трикутники.

• Якщо дві сторони трикутника мають різну довжину, то більша сторона має протилежний їй більший кут. І навпаки, якщо два кути трикутника різної міри, то більший кут має протилежну більшу сторону.
  

AB > AC ⇒ Отже, ∠ACB > ∠ABC [Кути, протилежні сторонам AB і AC]

І навпаки, оскільки ∠BAC > ∠ABC ⇒ Отже, BC > AC [Сторони, протилежні кутам A і B]

Наслідки

1. Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника більша за довжину третьої сторони.
2. Різниця довжин будь-яких двох сторін трикутника менша від довжини третьої сторони.

• Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох сторін, що залишилися.

△ABC — прямокутний трикутник, де ∠C = 90°, AB — гіпотенуза, тоді
AB ² = AC ² + BC ²

• Відрізок, що сполучає середини двох сторін трикутника, паралельний третій стороні і дорівнює її половині.

D — середина AB і E — середина AC, тоді DE || до н.е. і DE = ½ до н.е

• Міра зовнішнього кута трикутника дорівнює сумі відповідних внутрішніх кутів.

Зовнішній кут ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• Бісектриса та центр вписаного кута: центр вписаного трикутника завжди лежить усередині трикутника. Пряма, яка ділить будь-який внутрішній кут трикутника навпіл, називається його кутовою бісектрисою, а точка, в якій перетинаються три кутові бісектриси, називається вписаним центром трикутника.

AD, BE і CF — три бісектриси трикутника ABC. Три бісектриси кута збігаються в точці I, яка називається центром вписаності трикутника. Точка I завжди буде лежати всередині трикутника.

• Медіана та центроїд: центроїд трикутника ділить кожну медіану всередині у співвідношенні 2:1.

AD, BC і CF — три медіани трикутника ABC. Відрізок, що сполучає вершину із серединою протилежної сторони трикутника, називається медіаною трикутника. Три медіани збігаються в точці G, яка називається центроїдом трикутника, тоді \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• Висота й ортоцентр: ортоцентр гострокутного трикутника лежить усередині трикутника. Ортоцентр тупокутного трикутника лежить у зовнішній частині трикутника. Ортоцентр прямокутного трикутника лежить у вершині, де трикутник є прямим кутом. Відрізок, проведений з вершини перпендикулярно до протилежної сторони трикутника, називається висотою трикутника. Три висоти збігаються в точці, яка називається ортоцентром.

AD, BE і CF — три висоти трикутника ABC. H — ортоцентр трикутника. Оскільки △ ABC є гострокутним трикутником, то ортоцентр лежить усередині трикутника.

Висоти рівностороннього трикутника рівні. Висоти рівних сторін рівнобедреного трикутника рівні.

Приклад 1: Вкажіть, чи є наведений нижче трикутник прямокутним чи ні.

Перевірте, чи 13 ² = 5 ² + 12 ²

Отже, оскільки він задовольняє теорему Піфагора, даний трикутник є прямокутним.

Приклад 2: Знайдіть ∠x на даному малюнку.

∠x = 40 + 60 = 100° ( Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі відповідних внутрішніх кутів.)