Back to the topics list

مثلث پر نظریات

اس سبق میں، ہم مثلث پر کچھ اہم نظریات کا احاطہ کرنے جا رہے ہیں۔

• اگر ایک مثلث کے دو اطراف غیر مساوی لمبائی کے ہیں، تو بڑی طرف کا زاویہ اس کے مخالف ہے۔ اس کے برعکس، اگر ایک مثلث کے دو زاویے غیر مساوی پیمائش کے ہیں، تو بڑے زاویہ کا اس کے مخالف پہلو زیادہ ہوتا ہے۔
  

AB > AC ⇒ لہذا، ∠ACB > ∠ABC [زاویہ AB اور AC کے مخالف]

اس کے برعکس، جیسا کہ ∠BAC > ∠ABC ⇒ لہذا، BC > AC [زاویہ A اور B کے مخالف اطراف]

کرولریز

1. مثلث کے کسی بھی دو اطراف کی لمبائی کا مجموعہ تیسری طرف کی لمبائی سے زیادہ ہے۔
2. مثلث کے کسی بھی دو اطراف کی لمبائی کے درمیان فرق تیسری طرف کی لمبائی سے کم ہے۔

• Pythagoras Theorem: ایک دائیں زاویہ مثلث میں، hypotenuse کا مربع باقی دو اطراف کے مربعوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

△ABC ایک دائیں زاویہ مثلث ہے جہاں ∠C = 90°، AB فرضی ہے پھر
AB ² = AC ² + BC ²

• ایک مثلث کے دو اطراف کے درمیانی نقطوں کو جوڑنے والا لائن سیگمنٹ تیسری طرف کے متوازی اور اس کے نصف حصے کے برابر ہے۔

D AB کا وسط پوائنٹ ہے اور E AC کا وسط پوائنٹ ہے، پھر DE || BC اور DE = ½ BC

• مثلث کے بیرونی زاویہ کی پیمائش متعلقہ اندرونی زاویوں کے مجموعے کے برابر ہے۔

بیرونی زاویہ ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB

• کونیی دو طرفہ اور مرکز: مثلث کا مرکز ہمیشہ مثلث کے اندرونی حصے میں ہوتا ہے۔ ایک لکیر جو مثلث کے کسی بھی اندرونی زاویہ کو دو حصوں میں تقسیم کرتی ہے اسے اس کا کونیی دوئم کار کہا جاتا ہے اور وہ نقطہ جس پر تین زاویہ دو طرفہ ملتے ہیں اسے مثلث کا مرکز کہا جاتا ہے۔

AD، BE، اور CF مثلث ABC کے تین زاویہ بائسیکٹر ہیں۔ تین زاویہ بائسیکٹر پوائنٹ I پر ایک ساتھ ہوتے ہیں جسے مثلث کا مرکز کہا جاتا ہے۔ وہ نقطہ جو میں ہمیشہ مثلث کے اندرونی حصے میں رہوں گا۔

• میڈین اور سینٹروڈ: ایک مثلث کا سنٹرائڈ ہر میڈین کو اندرونی طور پر 2:1 کے تناسب میں تقسیم کرتا ہے۔

AD، BC، اور CF ایک مثلث ABC کے تین میڈین ہیں۔ مثلث کے مخالف سمت کے وسط نقطہ سے عمودی حصے کو جوڑنے والا لائن سیگمنٹ مثلث کا میڈین کہلاتا ہے۔ تین میڈینز G پر ایک ساتھ ہیں جسے مثلث کا مرکز کہا جاتا ہے، پھر \(\frac{BG}{GE} = \frac{AG}{GD} = \frac{CG}{GF} = \frac{2}{1}\)

• اونچائی اور آرتھو سینٹر: ایک شدید زاویہ والے مثلث کا آرتھو سینٹر مثلث کے اندرونی حصے میں واقع ہے۔ obtuse-angled مثلث کا آرتھو سینٹر مثلث کے بیرونی حصے میں واقع ہے۔ دائیں زاویہ مثلث کا آرتھو سینٹر عمودی پر واقع ہے، جہاں تکون ایک صحیح زاویہ ہے۔ مثلث کے مخالف سمت سے کھڑے ہونے والے عمودی حصے سے کھینچی جانے والی لائن سیگمنٹ کو مثلث کی اونچائی کہا جاتا ہے۔ تینوں اونچائیاں ایک نقطہ پر ایک ساتھ ہیں جسے آرتھو سینٹر کہتے ہیں۔

AD، BE اور CF مثلث ABC کی تین اونچائیاں ہیں۔ H مثلث کا آرتھو سینٹر ہے۔ یہاں جیسا کہ △ ABC ایک شدید زاویہ والا مثلث ہے لہذا آرتھو سینٹر مثلث کے اندر واقع ہے۔

ایک مساوی مثلث کی اونچائی برابر ہوتی ہے۔ ایک isosceles مثلث کے مساوی اطراف کی اونچائی برابر ہے۔

مثال 1: بتائیں کہ آیا درج ذیل مثلث دائیں زاویہ ہے یا نہیں۔

چیک کریں کہ آیا 13 ² = 5 ² + 12 ²

جیسا کہ یہ پائتھاگورس تھیوریم کو پورا کرتا ہے، اس لیے دیا گیا مثلث ایک دائیں زاویہ والی مثلث ہے۔

مثال 2: دی گئی شکل میں ∠x تلاش کریں۔

∠x = 40 + 60 = 100° ( ایک مثلث کے بیرونی زاویہ کی پیمائش متعلقہ اندرونی زاویوں کے مجموعے کے برابر ہے۔)