La proprietà associativa afferma che quando un'espressione ha tre o più termini, possono essere raggruppati in qualsiasi modo per risolvere quell'espressione. Il raggruppamento di numeri non cambierà mai il risultato della loro operazione. Ad esempio, \((3+2) + 5 = 3 + (2 + 5) = 10\)
Nota: se a, b e c sono due numeri, allora a+b+c è un'espressione semplice senza raggruppamento. (a+b)+c è la stessa espressione con i termini a e b raggruppati insieme. Allo stesso modo, nell'espressione a+(b+c), b e c sono raggruppati insieme.
Secondo la proprietà associativa dell'addizione, indipendentemente da come sono disposti i numeri, il risultato della somma di tre o più numeri rimane lo stesso.
Nell'esempio precedente, anche se i numeri sono classificati in modo diverso, la somma totale rimane la stessa.
La proprietà associativa della moltiplicazione afferma che il prodotto di tre o più numeri rimane lo stesso indipendentemente da come i numeri sono raggruppati.
(3 × 4) × 2 = 3 × (4 × 2) = 24, il prodotto rimane invariato anche se i numeri sono raggruppati in modo diverso.
Non possiamo applicare la proprietà associativa alla sottrazione o alla divisione perché quando cambiamo il raggruppamento dei numeri in sottrazione o divisione, la risposta viene modificata. Cerchiamo di capirlo con alcuni esempi -
Proviamo la formula della proprietà associativa in sottrazione:
(8 - 5) - 2 = (3) - 2 = 1 e
8 - (5 - 2) = 8 - (3) = 5
quindi (8 − 5) − 2 ≠ 8 − (5 − 2)
Ora, proviamo la formula della proprietà associativa per la divisione:
(36 ÷ 6) ÷ 2 = (6) ÷ 2 = 3 e
36 ÷ (6 ÷ 2) = 36 ÷ (3) = 12,
quindi (36 ÷ 6) ÷ 2 ≠ 36 ÷ (6 ÷ 2)
Dagli esempi precedenti, possiamo vedere che la proprietà associativa non è applicabile alla sottrazione e alla divisione.
Esempio 1: utilizzare la proprietà associativa per determinare se le equazioni seguenti sono uguali o diverse
Risposta: '=' (proprietà associativa dell'addizione)
Risposta: '≠' (la proprietà associativa non vale per la sottrazione)
Esempio 2: Completa gli spazi vuoti (3 × 4) × _____ = 3 × ( 8 × 4)
Risposta: 8 (applicando la legge commutativa e associativa della moltiplicazione)
