Back to the topics list

علاقات

في الرياضيات ، صادفنا العديد من العلاقات مثل الرقم m أقل من الرقم n ، والخط p عمودي على الخط Q ، والمجموعة R هي مجموعة فرعية من المجموعة S. في كل هذه العلاقات ، نلاحظ أن العلاقة تتضمن أزواجًا من الكائنات. في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية ربط أزواج من العناصر من مجموعتين ثم تقديم العلاقات بين الكائنين في الزوج.

الزوج المطلوب: يتكون الزوج المرتب من عنصرين أو عنصرين في ترتيب ثابت معين. على سبيل المثال ، إذا كانت P و Q مجموعتين ، فإننا نعني زوجًا مرتبًا (أ ، ب) بهذا الترتيب ، حيث a ∈ P ، b ∈ Q

المساواة في الأزواج المرتبة: زوجان مرتبطان (أ ، ب) و (ج ، د) متساويان إذا كانت أ = ج وب = د

المنتج الديكارتي للمجموعات

لنفترض أن A و B هما أي مجموعتين غير فارغتين. مجموعة جميع الأزواج المرتبة (أ ، ب) مثل أ ∈ أ و ب ∈ ب تسمى المنتجات الديكارتية للمجموعتين P و Q ويُشار إليها بـ P × Q

وهكذا ، P × Q = {(a، b): a ∈ A and b ∈ B}

على سبيل المثال ، إذا كان P = {2 ، 4 ، 6} و Q = {1 ، 2} ، إذن

P × Q = {3، 5، 7} × {1، 2} = ((3، 1)، (3، 2)، (5، 1)، (5، 2)، (7، 1)، ( 7 ، 2)}

س × ف = {1 ، 2} × {3 ، 5 ، 7} = ((1 ، 3) ، (1 ، 5) ، (1 ، 7) ، (2 ، 3) ، (2 ، 5) ، ( 2 ، 7)}

• زوجان مرتبان متساويان ، إذا وفقط إذا كانت العناصر الأولى المقابلة متساوية والعناصر الثانية متساوية أيضًا
• إذا كانت هناك عناصر m في عناصر P و n في Q ، فسيكون هناك عنصر mn في P × Q.
• إذا كانت P و Q مجموعتين غير فارغتين وكانت إما P أو Q مجموعة لانهائية ، فإن P × Q كذلك

مثال 1: إذا كانت (x + 1، y - 3) = (4، 1) ، فأوجد قيمتي x و y.

الحل: س + 1 = 4 إذن ، س = 4-1 = 3

ص - 3 = 1 ، لذلك ص = 1 + 3 = 4

مثال 2: إذا كان P = {1، 2، 3}، Q = {3، 4} and R = {1، 3، 5} أوجد P × (Q ∪ R)

الحل: Q ∪ R = {1، 3، 4، 5}

لذلك ، P × (Q ∪ R) = {1، 2، 3} × {1، 3، 4، 5} = {(1، 1)، (1، 3)، (1، 4)، (1، 5) ، (2،1) ، (2 ، 3) ، (2 ، 4) ، (2 ، 5) ، (3 ، 1) ، (3 ، 3) ، (3 ، 4) ، (3 ، 5) }

علاقات

ضع في اعتبارك مجموعتين P و Q حيث P = {4 ، 9 ، 25} و Q = {+2 ، -2 ، +3 ، -3 ، +5 ، -5}

يمكننا الحصول على مجموعة فرعية من P × Q بإدخال علاقة R بين العنصر الأول x والعنصر الثاني y لكل زوج مرتب (x ، y) على النحو التالي

R = {(x، y): x هو مربع العدد y و x ∈ P و y ∈ Q}

يظهر تمثيل مرئي لهذه العلاقة R (يسمى مخطط السهم) أدناه:

في نموذج باني المجموعات ، R = {(x، y): x هو مربع العدد y و x ∈ P و y ∈ Q}

في شكل القائمة ، R = {(4، + 2)، (4، -2)، (9، +3)، (9، -3)، (25، +5)، (25، -5)}

• المجال: مجموعة جميع العناصر الأولى للأزواج المرتبة فيما يتعلق R من المجموعة P إلى المجموعة Q تسمى مجال العلاقة R. في هذا المثال ، المجال هو {4 ، 9 ، 25}.
• النطاق والرمز: مجموعة كل العناصر الثانية في علاقة R من مجموعة P إلى مجموعة Q تسمى نطاق العلاقة R. المجموعة الكاملة Q تسمى المجال المشترك للعلاقة R. لاحظ أن النطاق عبارة عن مجموعة فرعية من المجال. في المثال أعلاه ، النطاق والمجال الشفري متماثلان ويساويان {+2 ، -2 ، +3 ، -3 ، +5 ، -5}

ملاحظة: العدد الإجمالي للعلاقات التي يمكن تحديدها من مجموعة P إلى مجموعة Q هو عدد المجموعات الفرعية المحتملة من P × Q. إذا كان n (P) = r و n (Q) = s ، إذن n (P × Q) = rs والعدد الإجمالي للعلاقات هو 2 ^rs

مثال 3: دع P = {1، 2} و Q = {3، 4}. أوجد عدد العلاقات من P إلى Q.

الحل: لدينا P × Q = {(1،3)، (1،4)، (2،3)، (2،4)}

نظرًا لأن n (P × Q) = 4 ، فإن عدد المجموعات الفرعية من P × Q هو 2 ⁴ ، لذلك سيكون عدد العلاقات 2 ⁴ = 16