Back to the topics list

সম্পর্ক

গণিতে আমরা অনেক সম্পর্কের সাথে দেখা করি যেমন m সংখ্যাটি সংখ্যা n থেকে ছোট, লাইন p লাইন Q এর লম্ব, সেট R সেট S এর উপসেট। এই সবের মধ্যে, আমরা লক্ষ্য করি যে একটি সম্পর্কের সাথে বস্তুর জোড়া জড়িত। এই পাঠে আমরা শিখব কিভাবে দুটি সেট থেকে বস্তুর জোড়া লিঙ্ক করা যায় এবং তারপর জোড়ায় দুটি বস্তুর মধ্যে সম্পর্ক প্রবর্তন করা যায়।

অর্ডারযুক্ত জোড়া: একটি নির্দিষ্ট ক্রমানুসারে দুটি বস্তু বা উপাদান নিয়ে একটি আদেশযুক্ত জোড়া থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি P এবং Q দুটি সেট হয় তবে উপাদানগুলির একটি ক্রমযুক্ত জোড়া দ্বারা আমরা সেই ক্রমে একটি জোড়া (a,b) বোঝায়, যেখানে a ∈ P, b ∈ Q

আদেশকৃত জোড়ার সমতা: দুটি অর্ডারযুক্ত জোড়া (a,b) এবং (c,d) সমান হলে a = c এবং b = d

সেটের কার্টেসিয়ান পণ্য

ধরা যাক A এবং B যেকোন দুটি অ-খালি সেট। সমস্ত ক্রমযুক্ত জোড়ার সেট (a,b) যেমন একটি ∈ A এবং b ∈ B কে P এবং Q সেটের কার্টেসিয়ান পণ্য বলা হয় এবং P × Q দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

এইভাবে, P × Q = {(a,b): a ∈ A এবং b ∈ B}

উদাহরণস্বরূপ, যদি P = {2, 4, 6} এবং Q = {1, 2}, তাহলে

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = (3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• দুটি ক্রমযুক্ত জোড়া সমান, যদি এবং শুধুমাত্র যদি সংশ্লিষ্ট প্রথম উপাদানগুলি সমান হয় এবং দ্বিতীয় উপাদানগুলিও সমান হয়
• যদি P-এ m উপাদান থাকে এবং Q-তে n মৌল থাকে, তাহলে P × Q-তে mn মৌল থাকবে।
• যদি P এবং Q দুটি অ-খালি সেট হয় এবং P বা Q একটি অসীম সেট হয়, তাহলে P × Q

উদাহরণ 1: যদি (x + 1, y − 3) = (4, 1), x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: x + 1 = 4 অতএব, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, অতএব, y = 1 + 3 = 4

উদাহরণ 2: যদি P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = {1, 3, 5} পাওয়া যায় P × (Q ∪ R)

সমাধান: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

অতএব, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

সম্পর্ক

P এবং Q দুটি সেট বিবেচনা করুন যেখানে P ={4, 9, 25} এবং Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

আমরা প্রতিটি ক্রমযুক্ত জোড়ার (x,y) প্রথম উপাদান x এবং দ্বিতীয় উপাদান y এর মধ্যে একটি সম্পর্ক R প্রবর্তন করে P × Q এর একটি উপসেট পেতে পারি

R = {(x,y):x হল y সংখ্যার বর্গ, x ∈ P এবং y ∈ Q}

এই সম্পর্কের একটি চাক্ষুষ উপস্থাপনা R (একটি তীর চিত্র বলা হয়) নীচে দেখানো হয়েছে:

সেট বিল্ডার আকারে, R = {(x,y):x হল y, x ∈ P এবং y ∈ Q} সংখ্যার বর্গক্ষেত্র

রোস্টার আকারে, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• ডোমেন: একটি সেট P থেকে Q সেট পর্যন্ত R সম্পর্কের ক্রমকৃত জোড়ার সমস্ত প্রথম উপাদানের সেটকে R সম্পর্কের ডোমেন বলা হয়। এই উদাহরণে, ডোমেনটি হল {4, 9, 25}।
• রেঞ্জ এবং কোডোমেন: একটি রিলেশনের সমস্ত দ্বিতীয় উপাদানের সেটকে P থেকে Q সেট পর্যন্ত রিলেশনের রেঞ্জ বলা হয়। পুরো সেট Q কে রিলেশনের কোডমেন বলা হয়। উল্লেখ্য রেঞ্জটি একটি উপসেট কোডোমেনের। উপরের উদাহরণে, পরিসীমা এবং codomain একই এবং {+2, -2, +3, -3, +5, -5} এর সমান

দ্রষ্টব্য: একটি সেট P থেকে একটি সেট Q-এ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এমন মোট সম্পর্কের সংখ্যা হল P × Q এর সম্ভাব্য উপসেটের সংখ্যা। যদি n(P) = r এবং n(Q) = s হয়, তাহলে n(P × Q) = rs এবং মোট সম্পর্কের সংখ্যা 2 ^rs

উদাহরণ 3: ধরুন P = {1, 2} এবং Q = {3, 4}। P থেকে Q পর্যন্ত সম্পর্কের সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান: আমাদের আছে, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

যেহেতু n(P × Q) = 4, P × Q এর উপসেটের সংখ্যা 2 ⁴ , তাই, সম্পর্কের সংখ্যা হবে 2 ⁴ = 16