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beziehungen

In der Mathematik stoßen wir auf viele Beziehungen, beispielsweise ist die Zahl m kleiner als die Zahl n, die Gerade p steht senkrecht auf der Geraden Q, die Menge R ist eine Teilmenge der Menge S. In all diesen Fällen bemerken wir, dass eine Beziehung Paare von Objekten umfasst. In dieser Lektion lernen wir, wie man Objektpaare aus zwei Mengen verknüpft und dann Beziehungen zwischen den beiden Objekten im Paar herstellt.

Geordnetes Paar: Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Objekten oder Elementen in einer bestimmten festen Reihenfolge. Wenn beispielsweise P und Q zwei Mengen sind, dann meinen wir mit einem geordneten Paar von Elementen ein Paar (a,b) in dieser Reihenfolge, wobei a ∈ P, b ∈ Q

Gleichheit geordneter Paare: Zwei geordnete Paare (a,b) und (c,d) sind gleich, wenn a = c und b = d

Kartesisches Produkt von Mengen

Seien A und B zwei beliebige nichtleere Mengen. Die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a ∈ A und b ∈ B heißt die kartesischen Produkte der Mengen P und Q und wird mit P × Q bezeichnet

Somit ist P × Q = {(a,b) : a ∈ A und b ∈ B}

Wenn zum Beispiel P = {2, 4, 6} und Q = {1, 2}, dann

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Zwei geordnete Paare sind genau dann gleich, wenn die entsprechenden ersten Elemente gleich sind und auch die zweiten Elemente gleich sind
• Wenn es m Elemente in P und n Elemente in Q gibt, dann gibt es mn Elemente in P × Q.
• Wenn P und Q zwei nichtleere Mengen sind und entweder P oder Q eine unendliche Menge ist, dann ist dies auch P × Q

Beispiel 1: Wenn (x + 1, y − 3) = (4, 1), ermitteln Sie die Werte von x und y.

Lösung: x + 1 = 4, also x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, also y = 1 + 3 = 4

Beispiel 2: Wenn P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} und R = {1, 3, 5}, finde P × (Q ∪ R)

Lösung: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Daher ist P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Beziehungen

Betrachten Sie zwei Mengen P und Q, wobei P ={4, 9, 25} und Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Wir können eine Teilmenge von P × Q erhalten, indem wir eine Beziehung R zwischen dem ersten Element x und dem zweiten Element y jedes geordneten Paares (x,y) als einführen

R = {(x,y):x ist das Quadrat der Zahl y, x ∈ P und y ∈ Q}

Eine visuelle Darstellung dieser Beziehung R (Pfeildiagramm genannt) ist unten dargestellt:

In der Mengenerstellungsform ist R = {(x,y):x das Quadrat der Zahl y, x ∈ P und y ∈ Q}

In Dienstplanform ist R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domäne: Die Menge aller ersten Elemente der geordneten Paare in der Relation R von einer Menge P zur Menge Q wird als Domäne der Relation R bezeichnet. In diesem Beispiel ist die Domäne {4, 9, 25}.
• Bereich und Kodomäne: Die Menge aller zweiten Elemente in einer Relation R von einer Menge P zur Menge Q wird als Bereich der Relation R bezeichnet. Die gesamte Menge Q wird als Kobereich der Relation R bezeichnet. Beachten Sie, dass der Bereich eine Teilmenge ist der Codomäne. Im obigen Beispiel sind Bereich und Codomäne gleich und gleich {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Hinweis: Die Gesamtzahl der Beziehungen, die von einer Menge P zu einer Menge Q definiert werden können, ist die Anzahl der möglichen Teilmengen von P × Q. Wenn n(P) = r und n(Q) = s, dann ist n(P × Q) = rs und die Gesamtzahl der Beziehungen beträgt 2 ^rs

Beispiel 3: Sei P = {1, 2} und Q = {3, 4}. Finden Sie die Anzahl der Beziehungen von P zu Q.

Lösung: Es gilt P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Da n(P × Q) = 4 ist, beträgt die Anzahl der Teilmengen von P × Q 2 ⁴ , daher beträgt die Anzahl der Beziehungen 2 ⁴ = 16