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relaciones

En matemáticas nos encontramos con muchas relaciones como el número m es menor que el número n, la línea p es perpendicular a la línea Q, el conjunto R es un subconjunto del conjunto S. En todos estos, notamos que una relación involucra pares de objetos. En esta lección aprenderemos cómo vincular pares de objetos de dos conjuntos y luego introduciremos relaciones entre los dos objetos en el par.

Par ordenado: Un par ordenado consta de dos objetos o elementos en un orden fijo determinado. Por ejemplo, si P y Q son dos conjuntos, entonces por un par ordenado de elementos nos referimos a un par (a,b) en ese orden, donde a ∈ P, b ∈ Q

Igualdad de pares ordenados: Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si a = c y b = d

producto cartesiano de conjuntos

Sean A y B cualesquiera dos conjuntos no vacíos. El conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tales que a ∈ A y b ∈ B se denomina producto cartesiano de los conjuntos P y Q y se denota por P × Q

Así, P × Q = {(a,b) : a ∈ A y b ∈ B}

Por ejemplo, si P = {2, 4, 6} y Q = {1, 2}, entonces

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dos pares ordenados son iguales si y solo si los primeros elementos correspondientes son iguales y los segundos elementos también son iguales
• Si hay m elementos en P y n elementos en Q, entonces habrá mn elementos en P × Q.
• Si P y Q son dos conjuntos no vacíos y P o Q son un conjunto infinito, entonces también lo es P × Q

Ejemplo 1: si (x + 1, y − 3) = (4, 1), encuentre los valores de x e y.

Solución: x + 1 = 4 por lo tanto, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, por lo tanto, y = 1 + 3 = 4

Ejemplo 2: si P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} y R = {1, 3, 5} encuentra P × (Q ∪ R)

Solución: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Por lo tanto, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Relaciones

Considere dos conjuntos P y Q donde P = {4, 9, 25} y Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Podemos obtener un subconjunto de P × Q introduciendo una relación R entre el primer elemento x y el segundo elemento y de cada par ordenado (x,y) como

R = {(x,y):x es el cuadrado del número y, x ∈ P y y ∈ Q}

A continuación se muestra una representación visual de esta relación R (llamada diagrama de flechas):

En forma de constructor de conjuntos, R = {(x,y):x es el cuadrado del número y, x ∈ P y y ∈ Q}

En forma de lista, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Dominio: el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados en relación R de un conjunto P a un conjunto Q se denomina dominio de la relación R. En este ejemplo, el dominio es {4, 9, 25}.
• Rango y codominio: el conjunto de todos los segundos elementos en una relación R desde un conjunto P hasta un conjunto Q se denomina rango de la relación R. Todo el conjunto Q se denomina codominio de la relación R. Tenga en cuenta que el rango es un subconjunto del codominio. En el ejemplo anterior, rango y codominio son iguales e iguales a {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Nota: El número total de relaciones que se pueden definir de un conjunto P a un conjunto Q es el número de posibles subconjuntos de P × Q. Si n(P) = r y n(Q) = s, entonces n(P × Q) = rs y el número total de relaciones es 2 ^rs

Ejemplo 3: Sea P = {1, 2} y Q = {3, 4}. Encuentra el número de relaciones de P a Q.

Solución: Tenemos, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Como n(P × Q) = 4, el número de subconjuntos de P × Q es 2 ⁴ , por lo tanto, el número de relaciones será 2 ⁴ = 16