Back to the topics list

روابط

در ریاضیات به روابط زیادی برخورد می کنیم مانند عدد m کوچکتر از عدد n، خط p عمود بر خط Q، مجموعه R زیر مجموعه مجموعه S است. در این درس می آموزیم که چگونه جفت اشیاء را از دو مجموعه به هم پیوند دهیم و سپس روابط بین دو شی را در جفت معرفی کنیم.

جفت مرتب: یک جفت مرتب شده از دو شی یا عنصر در یک ترتیب ثابت تشکیل شده است. به عنوان مثال، اگر P و Q دو مجموعه باشند، منظور از یک جفت مرتب شده از عناصر، یک جفت (a,b) در آن ترتیب است که در آن a ∈ P, b ∈ Q

تساوی جفت های مرتب شده: دو جفت مرتب شده (a,b) و (c,d) مساوی هستند اگر a = c و b = d

محصول دکارتی مجموعه ها

فرض کنید A و B هر دو مجموعه غیر خالی باشند. مجموعه تمام جفت های مرتب شده (a,b) به گونه ای که a ∈ A و b ∈ B را حاصل ضربات دکارتی مجموعه های P و Q می نامند و با P × Q نشان می دهند.

بنابراین، P × Q = {(a,b) : a ∈ A و b ∈ B}

برای مثال، اگر P = {2، 4، 6} و Q = {1، 2}، پس

P × Q = {3، 5، 7} × {1، 2} = ((3، 1)، (3، 2)، (5، 1)، (5، 2)، (7، 1)، ( 7، 2)}

Q × P = {1، 2} × {3، 5، 7} = ((1، 3)، (1، 5)، (1، 7)، (2، 3)، (2، 5)، ( 2، 7)}

• دو جفت مرتب شده مساوی هستند، اگر و فقط اگر عناصر اول متناظر با هم برابر باشند و عناصر دوم نیز برابر باشند
• اگر m عنصر در P و n عنصر در Q وجود داشته باشد، mn عنصر در P × Q وجود خواهد داشت.
• اگر P و Q دو مجموعه غیر خالی هستند و P یا Q یک مجموعه نامتناهی هستند، P × Q نیز همینطور است.

مثال 1: اگر (x + 1, y − 3) = (4, 1) مقادیر x و y را بیابید.

راه حل: x + 1 = 4 بنابراین، x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1، بنابراین، y = 1 + 3 = 4

مثال 2: اگر P = {1، 2، 3}، Q = {3، 4} و R = {1، 3، 5} P × (Q ∪ R) را پیدا کنید.

راه حل: Q ∪ R = {1، 3، 4، 5}

بنابراین، P × (Q ∪ R) = {1، 2، 3} × {1، 3، 4، 5} = {(1، 1)، (1، 3)، (1، 4)، (1، 5)، (2،1)، (2، 3)، (2، 4)، (2، 5)، (3، 1)، (3، 3)، (3، 4)، (3، 5) }

روابط

دو مجموعه P و Q را در نظر بگیرید که در آن P ={4، 9، 25} و Q = {+2، -2، +3، -3، +5، -5}

ما می‌توانیم زیرمجموعه‌ای از P × Q را با معرفی یک رابطه R بین عنصر اول x و عنصر دوم y از هر جفت مرتب شده (x,y) به دست آوریم.

R = {(x,y):x مجذور عدد y، x ∈ P و y ∈ Q} است.

یک نمایش بصری از این رابطه R (به نام نمودار پیکان) در زیر نشان داده شده است:

در فرم سازنده مجموعه، R = {(x,y):x مربع عدد y، x ∈ P و y ∈ Q} است.

در فرم فهرست، R = {(4،+2)، (4،-2)، (9، +3)، (9، -3)، (25، +5)، (25، -5)}

• دامنه: مجموعه تمام عناصر اول جفت های مرتب شده در رابطه R از مجموعه P تا مجموعه Q را دامنه رابطه R می نامند. در این مثال دامنه {4، 9، 25} است.
• محدوده و کدومین: مجموعه همه عناصر دوم در یک رابطه R از مجموعه P تا مجموعه Q را محدوده رابطه R می نامند. کل مجموعه Q را کد دامنه رابطه R می نامند. توجه داشته باشید که محدوده یک زیر مجموعه است. از codomain. در مثال بالا، محدوده و دامنه مشابه و برابر با {+2، -2، +3، -3، +5، -5} هستند.

نکته: تعداد کل روابطی که می توان از مجموعه P به مجموعه Q تعریف کرد، تعداد زیر مجموعه های ممکن P × Q است. اگر n(P) = r و n(Q) = s، آنگاه n(P × Q) = rs و تعداد کل روابط 2 ^rs است

مثال 3: فرض کنید P = {1، 2} و Q = {3، 4}. تعداد روابط P تا Q را پیدا کنید.

راه حل: داریم، P × Q = {(1،3)، (1،4)، (2،3)، (2،4)}

از آنجایی که n(P × Q) = 4، تعداد زیر مجموعه های P × Q 2 ⁴ است، بنابراین، تعداد روابط 2 ⁴ = 16 خواهد بود.