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rapports

En mathématiques, nous rencontrons de nombreuses relations comme le nombre m est inférieur au nombre n, la ligne p est perpendiculaire à la ligne Q, l'ensemble R est un sous-ensemble de l'ensemble S. Dans tous ceux-ci, nous remarquons qu'une relation implique des paires d'objets. Dans cette leçon, nous apprendrons à lier des paires d'objets de deux ensembles, puis à introduire des relations entre les deux objets de la paire.

Paire ordonnée : Une paire ordonnée se compose de deux objets ou éléments dans un ordre fixe donné. Par exemple, si P et Q sont deux ensembles, alors par une paire ordonnée d'éléments, nous entendons une paire (a,b) dans cet ordre, où a ∈ P, b ∈ Q

Égalité des paires ordonnées : Deux paires ordonnées (a,b) et (c,d) sont égales si a = c et b = d

Produit cartésien d'ensembles

Soient A et B deux ensembles non vides quelconques. L'ensemble de toutes les paires ordonnées (a,b) telles que a ∈ A et b ∈ B est appelé les produits cartésiens des ensembles P et Q et est noté P × Q

Ainsi, P × Q = {(a,b) : a ∈ A et b ∈ B}

Par exemple, si P = {2, 4, 6} et Q = {1, 2}, alors

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)}

• Deux paires ordonnées sont égales, si et seulement si les premiers éléments correspondants sont égaux et les deuxièmes éléments sont également égaux
• S'il y a m éléments dans P et n éléments dans Q, alors il y aura mn éléments dans P × Q.
• Si P et Q sont deux ensembles non vides et que P ou Q est un ensemble infini, alors P × Q l'est aussi

Exemple 1 : Si (x + 1, y − 3) = (4, 1), trouver les valeurs de x et y.

Solution : x + 1 = 4 donc, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, donc, y = 1 + 3 = 4

Exemple 2 : Si P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} et R = {1, 3, 5} trouver P × (Q ∪ R)

Solution : Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Par conséquent, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}

Rapports

Considérons deux ensembles P et Q où P ={4, 9, 25} et Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Nous pouvons obtenir un sous-ensemble de P × Q en introduisant une relation R entre le premier élément x et le deuxième élément y de chaque paire ordonnée (x, y) comme

R = {(x,y):x est le carré du nombre y, x ∈ P et y ∈ Q}

Une représentation visuelle de cette relation R (appelée diagramme fléché) est présentée ci-dessous :

Sous forme de générateur d'ensemble, R = {(x,y):x est le carré du nombre y, x ∈ P et y ∈ Q}

Sous forme de liste, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domaine : l'ensemble de tous les premiers éléments des paires ordonnées dans la relation R d'un ensemble P à l'ensemble Q est appelé le domaine de la relation R. Dans cet exemple, le domaine est {4, 9, 25}.
• Plage et codomaine : L'ensemble de tous les seconds éléments d'une relation R d'un ensemble P à l'ensemble Q est appelé la plage de la relation R. L'ensemble Q est appelé le codomaine de la relation R. Notez que la plage est un sous-ensemble du codomaine. Dans l'exemple ci-dessus, la plage et le codomaine sont identiques et égaux à {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Remarque : Le nombre total de relations pouvant être définies d'un ensemble P à un ensemble Q est le nombre de sous-ensembles possibles de P × Q. Si n(P) = r et n(Q) = s, alors n(P × Q) = rs et le nombre total de relations est 2 ^rs

Exemple 3 : Soit P = {1, 2} et Q = {3, 4}. Trouver le nombre de relations de P à Q.

Solution : Nous avons, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Puisque n(P × Q) = 4, le nombre de sous-ensembles de P × Q est 2 ⁴ , donc le nombre de relations sera 2 ⁴ = 16