गणित में हमें कई संबंध देखने को मिलते हैं जैसे संख्या m संख्या n से कम है, रेखा p रेखा Q पर लंबवत है, समुच्चय R समुच्चय S का उपसमुच्चय है। इन सभी में, हम देखते हैं कि एक संबंध में वस्तुओं के जोड़े शामिल होते हैं। इस पाठ में हम सीखेंगे कि दो सेटों से वस्तुओं के जोड़े को कैसे जोड़ा जाए और फिर जोड़ी में दो वस्तुओं के बीच संबंधों का परिचय दिया जाए।
क्रमित युग्म: एक क्रमित युग्म में एक निश्चित क्रम में दो वस्तुएँ या तत्व होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि P और Q दो समुच्चय हैं तो तत्वों के क्रमित युग्म से हमारा तात्पर्य उस क्रम में एक युग्म (a,b) से है, जहाँ a ∈ P, b ∈ Q
क्रमित युग्मों की समानता: दो क्रमित युग्म (a,b) और (c,d) बराबर हैं यदि a = c और b = d
माना A और B कोई दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं। सभी क्रमित युग्मों (a,b) का समुच्चय इस प्रकार है कि a ∈ A और b ∈ B समुच्चय P और Q का कार्तीय गुणनफल कहलाता है और इसे P × Q द्वारा निरूपित किया जाता है।
इस प्रकार, P × Q = {(a,b) : a ∈ A और b ∈ B}
उदाहरण के लिए, यदि P = {2, 4, 6} और Q = {1, 2}, तो
पी × क्यू = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7,2)}
क्यू × पी = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}
उदाहरण 1: यदि (x + 1, y - 3) = (4, 1), तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान: x + 1 = 4 इसलिए, x = 4 - 1 = 3
y - 3 = 1, इसलिए, y = 1 + 3 = 4
उदाहरण 2: यदि पी = {1, 2, 3}, क्यू = {3, 4} और आर = {1, 3, 5} तो पी × (क्यू ∪ आर) खोजें
समाधान: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}
इसलिए, पी × (क्यू ∪ आर) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }
दो सेट पी और क्यू पर विचार करें जहां पी = {4, 9, 25} और क्यू = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}
हम प्रत्येक क्रमित युग्म (x,y) के पहले तत्व x और दूसरे तत्व y के बीच एक संबंध R प्रस्तुत करके P × Q का एक उपसमुच्चय प्राप्त कर सकते हैं।
R = {(x,y):x संख्या y का वर्ग है, x ∈ P और y ∈ Q}
इस संबंध R का एक दृश्य प्रतिनिधित्व (जिसे तीर आरेख कहा जाता है) नीचे दिखाया गया है:
सेट बिल्डर फॉर्म में, R = {(x,y):x संख्या y का वर्ग है, x ∈ P और y ∈ Q}
रोस्टर रूप में, आर = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}
नोट: एक समुच्चय P से समुच्चय Q तक परिभाषित किए जा सकने वाले संबंधों की कुल संख्या, P × Q के संभावित उपसमुच्चय की संख्या है। यदि n(P) = r और n(Q) = s, तो n(P × Q) = rs और संबंधों की कुल संख्या
उदाहरण 3: मान लीजिए P = {1, 2} और Q = {3, 4}। P से Q तक संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
समाधान: हमारे पास है, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
चूँकि n(P × Q) = 4, P × Q के उपसमुच्चय की संख्या 2 4 है, इसलिए, संबंधों की संख्या 2 4 = 16 होगी
