Back to the topics list

odnosima

U matematici nailazimo na mnoge relacije kao što je broj m manji od broja n, pravac p je okomit na pravac Q, skup R je podskup skupa S. U svim ovim primjećujemo da relacija uključuje parove objekata. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako povezati parove objekata iz dva skupa, a zatim uvesti odnose između dva objekta u paru.

Uređeni par: Uređeni par sastoji se od dva objekta ili elementa u zadanom fiksnom redoslijedu. Na primjer, ako su P i Q dva skupa, tada pod uređenim parom elemenata mislimo na par (a,b) u tom redoslijedu, gdje je a ∈ P, b ∈ Q

Jednakost uređenih parova: Dva uređena para (a,b) i (c,d) su jednaka ako je a = c i b = d

Kartezijev produkt skupova

Neka su A i B bilo koja dva neprazna skupa. Skup svih uređenih parova (a,b) takvih da su a ∈ A i b ∈ B naziva se kartezijevim produktima skupova P i Q i označava se s P × Q

Dakle, P × Q = {(a,b) : a ∈ A i b ∈ B}

Na primjer, ako je P = {2, 4, 6} i Q = {1, 2}, tada

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dva uređena para su jednaka ako i samo ako su odgovarajući prvi elementi jednaki i drugi elementi su također jednaki
• Ako postoji m elemenata u P i n elemenata u Q, tada će biti mn elemenata u P × Q.
• Ako su P i Q dva neprazna skupa i bilo P ili Q je beskonačan skup, onda je i P × Q

Primjer 1: Ako je (x + 1, y − 3) = (4, 1), pronađite vrijednosti x i y.

Rješenje: x + 1 = 4, dakle, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, dakle, y = 1 + 3 = 4

Primjer 2: Ako je P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} i R = {1, 3, 5}, pronađite P × (Q ∪ R)

Rješenje: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Prema tome, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Odnosi

Razmotrimo dva skupa P i Q gdje je P = {4, 9, 25} i Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Možemo dobiti podskup od P × Q uvođenjem relacije R između prvog elementa x i drugog elementa y svakog uređenog para (x,y) kao

R = {(x,y):x je kvadrat broja y, x ∈ P i y ∈ Q}

Vizualni prikaz ove relacije R (zvan dijagram sa strelicama) prikazan je u nastavku:

U obliku sastavljača skupova, R = {(x,y):x je kvadrat broja y, x ∈ P i y ∈ Q}

U obliku popisa, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domena: skup svih prvih elemenata uređenih parova u relaciji R od skupa P do skupa Q naziva se domena relacije R. U ovom primjeru domena je {4, 9, 25}.
• Raspon i kodomena: Skup svih drugih elemenata u relaciji R od skupa P do skupa Q naziva se raspon relacije R. Cijeli skup Q naziva se kodomena relacije R. Imajte na umu da je raspon podskup kodomene. U gornjem primjeru, raspon i kodomena su isti i jednaki {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Napomena: Ukupan broj relacija koje se mogu definirati od skupa P do skupa Q je broj mogućih podskupova od P × Q. Ako je n(P) = r i n(Q) = s, tada je n(P × Q) = rs i ukupan broj relacija je 2 ^rs

Primjer 3: Neka je P = {1, 2} i Q = {3, 4}. Pronađite broj relacija od P do Q.

Rješenje: Imamo, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Kako je n(P × Q) = 4, broj podskupova od P × Q je 2 ⁴ , stoga će broj relacija biti 2 ⁴ = 16