Back to the topics list

hubungan

Dalam matematika kita menjumpai banyak relasi seperti bilangan m lebih kecil dari bilangan n, garis p tegak lurus terhadap garis Q, himpunan R adalah himpunan bagian dari himpunan S. Dalam semua ini, kita melihat bahwa relasi melibatkan pasangan objek. Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari bagaimana menghubungkan pasangan-pasangan objek dari dua himpunan dan kemudian mengenalkan relasi antara dua objek dalam pasangan tersebut.

Pasangan Berurutan: Pasangan berurut terdiri dari dua objek atau elemen dalam urutan tetap tertentu. Sebagai contoh, jika P dan Q adalah dua himpunan maka dengan pasangan terurut elemen yang kita maksud adalah pasangan (a,b) dalam urutan tersebut, di mana a ∈ P, b ∈ Q

Kesetaraan pasangan berurut: Dua pasangan berurut (a,b) dan (c,d) sama jika a = c dan b = d

Produk himpunan Cartesian

Misalkan A dan B adalah dua himpunan tidak kosong. Himpunan semua pasangan terurut (a,b) sehingga a ∈ A dan b ∈ B disebut produk kartesius dari himpunan P dan Q dan dilambangkan dengan P × Q

Jadi, P × Q = {(a,b) : a ∈ A dan b ∈ B}

Misalnya, jika P = {2, 4, 6} dan Q = {1, 2}, maka

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dua pasangan terurut adalah sama, jika dan hanya jika elemen pertama yang bersesuaian sama dan elemen kedua juga sama
• Jika ada m elemen di P dan n elemen di Q, maka akan ada mn elemen di P × Q.
• Jika P dan Q adalah dua himpunan tidak kosong dan P atau Q adalah himpunan tak terhingga, maka P × Q juga demikian

Contoh 1: Jika (x + 1, y − 3) = (4, 1), carilah nilai x dan y.

Solusi: x + 1 = 4 jadi x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, jadi y = 1 + 3 = 4

Contoh 2: Jika P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} dan R = {1, 3, 5} tentukan P × (Q ∪ R)

Solusi: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Oleh karena itu, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Hubungan

Pertimbangkan dua himpunan P dan Q di mana P ={4, 9, 25} dan Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Kita dapat memperoleh himpunan bagian dari P × Q dengan memasukkan relasi R antara elemen pertama x dan elemen kedua y dari setiap pasangan terurut (x,y) sebagai

R = {(x,y):x adalah kuadrat dari bilangan y, x ∈ P dan y ∈ Q}

Representasi visual dari relasi R ini (disebut diagram panah) ditunjukkan di bawah ini:

Dalam bentuk pembangun himpunan, R = {(x,y):x adalah kuadrat dari bilangan y, x ∈ P dan y ∈ Q}

Dalam bentuk roster, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domain: himpunan semua elemen pertama dari pasangan terurut dalam relasi R dari himpunan P ke himpunan Q disebut domain dari relasi R. Dalam contoh ini, domainnya adalah {4, 9, 25}.
• Rentang dan Kodomain: Himpunan semua elemen kedua dalam relasi R dari himpunan P ke himpunan Q disebut rentang relasi R. Seluruh himpunan Q disebut kodomain relasi R. Perhatikan bahwa rentang adalah subhimpunan dari kodomain. Pada contoh di atas, range dan codomain adalah sama dan sama dengan {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Catatan: Jumlah total relasi yang dapat didefinisikan dari himpunan P ke himpunan Q adalah jumlah himpunan bagian yang mungkin dari P × Q. Jika n(P) = r dan n(Q) = s, maka n(P × Q) = rs dan jumlah total relasi adalah 2 ^rs

Contoh 3: Misalkan P = {1, 2} dan Q = {3, 4}. Tentukan banyaknya relasi dari P ke Q.

Solusi: Kita punya, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Karena n(P × Q) = 4, jumlah himpunan bagian dari P × Q adalah 2 ⁴ , sehingga jumlah relasinya adalah 2 ⁴ = 16