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relazioni

In matematica ci imbattiamo in molte relazioni come il numero m è minore del numero n, la retta p è perpendicolare alla retta Q, l'insieme R è il sottoinsieme dell'insieme S. In tutte queste, notiamo che una relazione coinvolge coppie di oggetti. In questa lezione impareremo come collegare coppie di oggetti di due insiemi e quindi introdurre le relazioni tra i due oggetti nella coppia.

Coppia ordinata: una coppia ordinata consiste di due oggetti o elementi in un dato ordine fisso. Ad esempio, se P e Q sono due insiemi allora per coppia ordinata di elementi intendiamo una coppia (a,b) in quell'ordine, dove a ∈ P, b ∈ Q

Uguaglianza di coppie ordinate: due coppie ordinate (a,b) e (c,d) sono uguali se a = c e b = d

Prodotto cartesiano di insiemi

Siano A e B due insiemi qualsiasi non vuoti. L'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) tali che a ∈ A e b ∈ B è detto prodotto cartesiano degli insiemi P e Q ed è indicato con P × Q

Quindi, P × Q = {(a,b) : a ∈ A e b ∈ B}

Ad esempio, se P = {2, 4, 6} e Q = {1, 2}, allora

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Due coppie ordinate sono uguali se e solo se i corrispondenti primi elementi sono uguali e anche i secondi elementi sono uguali
• Se ci sono m elementi in P e n elementi in Q, allora ci saranno mn elementi in P × Q.
• Se P e Q sono due insiemi non vuoti e P o Q è un insieme infinito, allora lo è anche P × Q

Esempio 1: Se (x + 1, y − 3) = (4, 1), trova i valori di x e y.

Soluzione: x + 1 = 4 quindi, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, quindi y = 1 + 3 = 4

Esempio 2: Se P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} e R = {1, 3, 5} trova P × (Q ∪ R)

Soluzione: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Pertanto, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Relazioni

Consideriamo due insiemi P e Q dove P ={4, 9, 25} e Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Possiamo ottenere un sottoinsieme di P × Q introducendo una relazione R tra il primo elemento x e il secondo elemento y di ogni coppia ordinata (x,y) come

R = {(x,y):x è il quadrato del numero y, x ∈ P e y ∈ Q}

Di seguito è mostrata una rappresentazione visiva di questa relazione R (chiamata diagramma a freccia):

Nella forma del generatore di insiemi, R = {(x,y):x è il quadrato del numero y, x ∈ P e y ∈ Q}

In forma elenco, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Dominio: l'insieme di tutti i primi elementi delle coppie ordinate nella relazione R da un insieme P all'insieme Q è detto dominio della relazione R. In questo esempio, il dominio è {4, 9, 25}.
• Intervallo e codominio: l'insieme di tutti i secondi elementi in una relazione R da un insieme P all'insieme Q è chiamato intervallo della relazione R. L'intero insieme Q è chiamato codominio della relazione R. Si noti che l'intervallo è un sottoinsieme del codominio. Nell'esempio precedente, intervallo e codominio sono gli stessi e sono uguali a {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Nota: il numero totale di relazioni che possono essere definite da un insieme P a un insieme Q è il numero di possibili sottoinsiemi di P × Q. Se n(P) = r e n(Q) = s, allora n(P × Q) = rs e il numero totale di relazioni è 2 ^rs

Esempio 3: Sia P = {1, 2} e Q = {3, 4}. Trova il numero di relazioni da P a Q.

Soluzione: Abbiamo, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Poiché n(P × Q) = 4, il numero di sottoinsiemi di P × Q è 2 ⁴ , quindi il numero di relazioni sarà 2 ⁴ = 16