数学では、数値 m が数値 n より小さい、直線 p が直線 Q に垂直である、集合 R が集合 S の部分集合であるなど、多くの関係に遭遇します。これらすべてにおいて、関係にはオブジェクトのペアが含まれることがわかります。このレッスンでは、2 つのセットからオブジェクトのペアをリンクする方法を学び、ペア内の 2 つのオブジェクト間の関係を紹介します。
順序ペア: 順序ペアは、特定の固定順序にある 2 つのオブジェクトまたは要素で構成されます。たとえば、P と Q が 2 つのセットである場合、要素の順序付きペアとは、その順序でペア (a,b) を意味します。ここで、a ∈ P、b ∈ Q
順序ペアの等価性: a = c および b = d の場合、2 つの順序ペア (a,b) と (c,d) は等しい。
A と B を空ではない任意の 2 つのセットとする。 a ∈ A および b ∈ B となるようなすべての順序ペア (a,b) の集合は、集合 P および Q のデカルト積と呼ばれ、P × Q で表されます。
したがって、P × Q = {(a,b) : a ∈ A および b ∈ B}
たとえば、P = {2, 4, 6} および Q = {1, 2} の場合、
P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7、2)}
Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2、7)}
例 1: (x + 1, y − 3) = (4, 1) の場合、x と y の値を求めます。
解: x + 1 = 4 したがって、x = 4 − 1 = 3
y − 3 = 1、したがって、y = 1 + 3 = 4
例 2: P = {1, 2, 3}、Q = {3, 4}、R = {1, 3, 5} の場合、P × (Q ∪ R) を求めます。
解: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}
したがって、P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,1)、(3,3)、(3,4)、(3,5) }
P ={4, 9, 25} および Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5} である 2 つのセット P および Q を考えます。
各順序ペア (x,y) の最初の要素 x と 2 番目の要素 y の間に関係 R を導入することで、P × Q のサブセットを取得できます。
R = {(x,y):x は数値 y の 2 乗、x ∈ P および y ∈ Q}
この関係 R を視覚的に表現したもの (矢印図と呼ばれます) を以下に示します。
セット ビルダー形式では、R = {(x,y):x は数値 y の 2 乗、x ∈ P および y ∈ Q}
名簿形式では、R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}
注:集合 P から集合 Q まで定義できる関係の総数は、P × Q の可能な部分集合の数です。n(P) = r および n(Q) = s の場合、n(P × Q) = rs で、関係の総数は
例 3: P = {1, 2} および Q = {3, 4} とします。 P から Q までの関係の数を求めます。
解決策: P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} となります。
n(P × Q) = 4 なので、P × Q の部分集合の数は 2 4です。したがって、関係の数は 2 4 = 16 になります。
