Back to the topics list

односи

Во математиката се среќаваме со многу релации како бројот m е помал од бројот n, правата p е нормална на правата Q, множеството R е подмножество од множеството S. Во сите овие, забележуваме дека релацијата вклучува парови објекти. Во оваа лекција ќе научиме како да поврземе парови објекти од две множества и потоа да воведеме односи помеѓу двата објекти во парот.

Подреден пар: Подредениот пар се состои од два објекти или елементи во даден фиксен редослед. На пример, ако P и Q се две множества, тогаш под подреден пар елементи мислиме пар (a,b) по тој редослед, каде што a ∈ P, b ∈ Q

Равенство на подредени парови: Два подредени парови (a,b) и (c,d) се еднакви ако a = c и b = d

Декартов производ на множества

Нека A и B се кои било две непразни множества. Множеството од сите подредени парови (a,b) така што a ∈ A и b ∈ B се нарекува декартов производи на множествата P и Q и се означува со P × Q

Така, P × Q = {(a,b) : a ∈ A и b ∈ B}

На пример, ако P = {2, 4, 6} и Q = {1, 2}, тогаш

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Два подредени пара се еднакви, ако и само ако соодветните први елементи се еднакви, а вторите елементи исто така се еднакви
• Ако има m елементи во P и n елементи во Q, тогаш ќе има mn елементи во P × Q.
• Ако P и Q се две непразни множества и или P или Q се бесконечно множество, тогаш истото е и P × Q

Пример 1: Ако (x + 1, y − 3) = (4, 1), најдете ги вредностите на x и y.

Решение: x + 1 = 4 значи, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, значи, y = 1 + 3 = 4

Пример 2: Ако P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} и R = {1, 3, 5} најдете P × (Q ∪ R)

Решение: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Затоа, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Односи

Размислете за две множества P и Q каде што P ={4, 9, 25} и Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Можеме да добиеме подмножество од P × Q со воведување на врска R помеѓу првиот елемент x и вториот елемент y од секој подреден пар (x,y) како

R = {(x,y):x е квадратот на бројот y, x ∈ P и y ∈ Q}

Визуелен приказ на оваа релација R (наречен дијаграм со стрелки) е прикажан подолу:

Во форма на градител на множества, R = {(x,y):x е квадратот на бројот y, x ∈ P и y ∈ Q}

Во форма на список, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Домен: множеството од сите први елементи на подредените парови во однос R од множеството P до множеството Q се нарекува домен на релацијата R. Во овој пример, доменот е {4, 9, 25}.
• Опсег и кодомен: Множеството од сите втори елементи во релацијата R од множеството P до множеството Q се нарекува опсег на релацијата R. Целото множество Q се нарекува кодомен на релацијата R. Забележете дека опсегот е подмножество на кодоменот. Во горниот пример, опсегот и кодоменот се исти и еднакви на {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Забелешка: Вкупниот број на релации што може да се дефинираат од множество P до множество Q е бројот на можни подмножества на P × Q. Ако n(P) = r и n(Q) = s, тогаш n(P × Q) = rs и вкупниот број на релации е 2 ^rs

Пример 3: Нека P = {1, 2} и Q = {3, 4}. Најдете го бројот на релации од P до Q.

Решение: Имаме, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Бидејќи n(P × Q) = 4, бројот на подмножества на P × Q е 2 ⁴ , според тоа, бројот на релации ќе биде 2 ⁴ = 16