Back to the topics list

relaties

In de wiskunde komen we veel relaties tegen, zoals getal m is kleiner dan getal n, lijn p staat loodrecht op lijn Q, verzameling R is een deelverzameling van verzameling S. In al deze verbanden zien we dat een relatie betrekking heeft op paren objecten. In deze les leren we hoe we paren objecten uit twee sets kunnen koppelen en vervolgens relaties tussen de twee objecten in het paar kunnen introduceren.

Geordend paar: Een geordend paar bestaat uit twee objecten of elementen in een bepaalde vaste volgorde. Als P en Q bijvoorbeeld twee verzamelingen zijn, dan bedoelen we met een geordend paar elementen een paar (a,b) in die volgorde, waarbij a ∈ P, b ∈ Q

Gelijkheid van geordende paren: Twee geordende paren (a,b) en (c,d) zijn gelijk als a = c en b = d

Cartesisch product van verzamelingen

Laat A en B twee willekeurige niet-lege verzamelingen zijn. De verzameling van alle geordende paren (a,b) zodanig dat a ∈ A en b ∈ B de cartesische producten van de verzamelingen P en Q wordt genoemd en wordt aangeduid met P × Q

Dus P × Q = {(a,b) : a ∈ A en b ∈ B}

Bijvoorbeeld, als P = {2, 4, 6} en Q = {1, 2}, dan

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)}

• Twee geordende paren zijn gelijk, dan en slechts dan als de corresponderende eerste elementen gelijk zijn en de tweede elementen ook gelijk zijn
• Als er m elementen in P en n elementen in Q zijn, dan zijn er mn elementen in P × Q.
• Als P en Q twee niet-lege verzamelingen zijn en P of Q een oneindige verzameling is, dan is P × Q dat ook

Voorbeeld 1: Als (x + 1, y − 3) = (4, 1), zoek dan de waarden van x en y.

Oplossing: x + 1 = 4 dus x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, dus y = 1 + 3 = 4

Voorbeeld 2: Als P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} en R = {1, 3, 5} vind P × (Q ∪ R)

Oplossing: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Daarom is P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}

Relaties

Beschouw twee verzamelingen P en Q waarbij P ={4, 9, 25} en Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

We kunnen een deelverzameling van P × Q verkrijgen door een relatie R in te voeren tussen het eerste element x en het tweede element y van elk geordend paar (x,y) als

R = {(x,y):x is het kwadraat van het getal y, x ∈ P en y ∈ Q}

Een visuele weergave van deze relatie R (een pijldiagram genoemd) wordt hieronder weergegeven:

In setbouwervorm is R = {(x,y):x het kwadraat van het getal y, x ∈ P en y ∈ Q}

In roostervorm, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domein: de verzameling van alle eerste elementen van de geordende paren in relatie R van een verzameling P tot verzameling Q wordt het domein van de relatie R genoemd. In dit voorbeeld is het domein {4, 9, 25}.
• Bereik en codomein: de set van alle tweede elementen in een relatie R van een set P tot set Q wordt het bereik van de relatie R genoemd. De hele set Q wordt het codomein van de relatie R genoemd. Merk op dat het bereik een subset is van het codomein. In het bovenstaande voorbeeld zijn bereik en codomein hetzelfde en gelijk aan {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Opmerking: het totale aantal relaties dat kan worden gedefinieerd van een verzameling P naar een verzameling Q is het aantal mogelijke deelverzamelingen van P × Q. Als n(P) = r en n(Q) = s, dan is n(P × Q) = rs en is het totale aantal relaties 2 ^rs

Voorbeeld 3: Laat P = {1, 2} en Q = {3, 4}. Zoek het aantal relaties van P naar Q.

Oplossing: We hebben, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Aangezien n(P × Q) = 4, is het aantal deelverzamelingen van P × Q 2 ⁴ , dus het aantal relaties zal 2 ⁴ = 16 zijn