Back to the topics list

relacje

W matematyce spotykamy wiele relacji, np. liczba m jest mniejsza od liczby n, prosta p jest prostopadła do prostej Q, zbiór R jest podzbiorem zbioru S. We wszystkich tych relacjach zauważamy, że relacja obejmuje pary obiektów. W tej lekcji nauczymy się łączyć pary obiektów z dwóch zestawów, a następnie wprowadzać relacje między tymi dwoma obiektami w parze.

Uporządkowana para: Uporządkowana para składa się z dwóch obiektów lub elementów w określonej ustalonej kolejności. Na przykład, jeśli P i Q są dwoma zbiorami, to przez uporządkowaną parę elementów rozumiemy parę (a,b) w takiej kolejności, gdzie a ∈ P, b ∈ Q

Równość uporządkowanych par: Dwie uporządkowane pary (a, b) i (c, d) są równe, jeśli a = c i b = d

Iloczyn kartezjański zbiorów

Niech A i B będą dowolnymi dwoma niepustymi zbiorami. Zbiór wszystkich uporządkowanych par (a,b) takich, że a ∈ A i b ∈ B nazywamy iloczynami kartezjańskimi zbiorów P i Q i oznaczamy P × Q

Zatem P × Q = {(a, b) : a ∈ A i b ∈ B}

Na przykład, jeśli P = {2, 4, 6} i Q = {1, 2}, to

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dwie uporządkowane pary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie pierwsze elementy są równe i drugie elementy są również równe
• Jeśli jest m elementów w P i n elementów w Q, to będzie mn elementów w P × Q.
• Jeśli P i Q są dwoma niepustymi zbiorami, a P lub Q jest zbiorem nieskończonym, to tak samo jest z P × Q

Przykład 1: Jeśli (x + 1, y − 3) = (4, 1), znajdź wartości x i y.

Rozwiązanie: x + 1 = 4 zatem x = 4 - 1 = 3

y - 3 = 1, zatem y = 1 + 3 = 4

Przykład 2: Jeśli P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} i R = {1, 3, 5} znajdź P × (Q ∪ R)

Rozwiązanie: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Dlatego P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Relacje

Rozważ dwa zbiory P i Q, gdzie P = {4, 9, 25} i Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Możemy otrzymać podzbiór P × Q, wprowadzając relację R między pierwszym elementem x a drugim elementem y każdej uporządkowanej pary (x, y) jako

R = {(x,y):x jest kwadratem liczby y, x ∈ P i y ∈ Q}

Wizualna reprezentacja tej relacji R (zwana diagramem strzałkowym) jest pokazana poniżej:

W postaci konstruktora zbiorów R = {(x,y):x jest kwadratem liczby y, x ∈ P i y ∈ Q}

W formie listy, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Dziedzina: zbiór wszystkich pierwszych elementów uporządkowanych par w relacji R ze zbioru P do zbioru Q nazywany jest domeną relacji R. W tym przykładzie domeną jest {4, 9, 25}.
• Zakres i Kodomena: Zbiór wszystkich drugich elementów w relacji R od zbioru P do zbioru Q nazywany jest zakresem relacji R. Cały zbiór Q nazywany jest kodomeną relacji R. Zauważ, że zakres jest podzbiorem z kodomeny. W powyższym przykładzie zakres i koddomena są takie same i równe {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Uwaga: Całkowita liczba relacji, które można zdefiniować ze zbioru P do zbioru Q, to liczba możliwych podzbiorów P × Q. Jeśli n(P) = r i n(Q) = s, to n(P × Q) = rs, a całkowita liczba relacji wynosi 2 ^rs

Przykład 3: Niech P = {1, 2} i Q = {3, 4}. Znajdź liczbę relacji od P do Q.

Rozwiązanie: Mamy P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Ponieważ n(P × Q) = 4, liczba podzbiorów zbioru P × Q wynosi 2 ⁴ , zatem liczba relacji wyniesie 2 ⁴ = 16