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relações

Na matemática encontramos muitas relações como o número m é menor que o número n, a linha p é perpendicular à linha Q, o conjunto R é um subconjunto do conjunto S. Em todas elas, notamos que uma relação envolve pares de objetos. Nesta lição, aprenderemos como vincular pares de objetos de dois conjuntos e, em seguida, introduzir relações entre os dois objetos do par.

Par ordenado: um par ordenado consiste em dois objetos ou elementos em uma determinada ordem fixa. Por exemplo, se P e Q são dois conjuntos então por um par ordenado de elementos queremos dizer um par (a,b) nessa ordem, onde a ∈ P, b ∈ Q

Igualdade de pares ordenados: Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se a = c e b = d

produto cartesiano de conjuntos

Sejam A e B quaisquer dois conjuntos não vazios. O conjunto de todos os pares ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B é chamado de produtos cartesianos dos conjuntos P e Q e é denotado por P × Q

Assim, P × Q = {(a,b) : a ∈ A e b ∈ B}

Por exemplo, se P = {2, 4, 6} e Q = {1, 2}, então

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dois pares ordenados são iguais, se e somente se os primeiros elementos correspondentes são iguais e os segundos elementos também são iguais
• Se houver m elementos em P e n elementos em Q, haverá mn elementos em P × Q.
• Se P e Q são dois conjuntos não vazios e P ou Q é um conjunto infinito, então P × Q também é

Exemplo 1: Se (x + 1, y − 3) = (4, 1), encontre os valores de x e y.

Solução: x + 1 = 4 portanto, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, portanto, y = 1 + 3 = 4

Exemplo 2: Se P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} e R = {1, 3, 5} encontre P × (Q ∪ R)

Solução: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Portanto, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,3), (3,4), (3,5) }

Relações

Considere dois conjuntos P e Q onde P ={4, 9, 25} e Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Podemos obter um subconjunto de P × Q introduzindo uma relação R entre o primeiro elemento x e o segundo elemento y de cada par ordenado (x,y) como

R = {(x,y):x é o quadrado do número y, x ∈ P e y ∈ Q}

Uma representação visual dessa relação R (chamada de diagrama de flechas) é mostrada abaixo:

Na forma do construtor de conjuntos, R = {(x,y):x é o quadrado do número y, x ∈ P e y ∈ Q}

Na forma de lista, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domínio: o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados na relação R de um conjunto P para o conjunto Q é chamado de domínio da relação R. Neste exemplo, o domínio é {4, 9, 25}.
• Intervalo e Contradomínio: O conjunto de todos os segundos elementos em uma relação R de um conjunto P para o conjunto Q é chamado de intervalo da relação R. Todo o conjunto Q é chamado de contradomínio da relação R. Observe que o intervalo é um subconjunto do contradomínio. No exemplo acima, range e contradomain são iguais e iguais a {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Nota: O número total de relações que podem ser definidas de um conjunto P para um conjunto Q é o número de possíveis subconjuntos de P × Q. Se n(P) = r e n(Q) = s, então n(P × Q) = rs e o número total de relações é 2 ^rs

Exemplo 3: Seja P = {1, 2} e Q = {3, 4}. Encontre o número de relações de P para Q.

Solução: Temos, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Como n(P × Q) = 4, o número de subconjuntos de P × Q é 2 ⁴ , portanto, o número de relações será 2 ⁴ = 16