Back to the topics list

связи

В математике мы сталкиваемся со многими отношениями, такими как число m меньше числа n, линия p перпендикулярна линии Q, множество R является подмножеством множества S. Во всех этих отношениях мы замечаем, что отношения включают пары объектов. В этом уроке мы научимся связывать пары объектов из двух наборов, а затем вводить отношения между двумя объектами в паре.

Упорядоченная пара: Упорядоченная пара состоит из двух объектов или элементов в заданном фиксированном порядке. Например, если P и Q — два множества, то под упорядоченной парой элементов понимается пара (a,b) в таком порядке, где a ∈ P, b ∈ Q

Равенство упорядоченных пар: две упорядоченные пары (a,b) и (c,d) равны, если a = c и b = d.

Декартово произведение множеств

Пусть A и B — любые два непустых множества. Множество всех упорядоченных пар (a,b), таких что a ∈ A и b ∈ B, называется декартовым произведением множеств P и Q и обозначается P × Q

Таким образом, P × Q = {(a,b) : a ∈ A и b ∈ B}

Например, если P = {2, 4, 6} и Q = {1, 2}, то

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Две упорядоченные пары равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие первые элементы и равны вторые элементы.
• Если есть m элементов в P и n элементов в Q, то будет mn элементов в P × Q.
• Если P и Q — два непустых множества и либо P, либо Q — бесконечное множество, то и P × Q — бесконечное множество.

Пример 1. Если (x + 1, y − 3) = (4, 1), найдите значения x и y.

Решение: х + 1 = 4, следовательно, х = 4 - 1 = 3

у - 3 = 1, следовательно, у = 1 + 3 = 4

Пример 2. Если P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} и R = {1, 3, 5}, найдите P × (Q ∪ R)

Решение: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Следовательно, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

связи

Рассмотрим два множества P и Q, где P = {4, 9, 25} и Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}.

Мы можем получить подмножество P × Q, введя отношение R между первым элементом x и вторым элементом y каждой упорядоченной пары (x, y) как

R = {(x,y):x — квадрат числа y, x ∈ P и y ∈ Q}

Визуальное представление этого отношения R (называемое стрелочной диаграммой) показано ниже:

В форме построителя множеств R = {(x,y):x — это квадрат числа y, x ∈ P и y ∈ Q}.

В форме списка R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9,-3), (25, +5), (25,-5)}

• Домен: набор всех первых элементов упорядоченных пар в отношении R из набора P в набор Q называется доменом отношения R. В этом примере доменом является {4, 9, 25}.
• Диапазон и кодовый домен: набор всех вторых элементов в отношении R из набора P в набор Q называется диапазоном отношения R. Весь набор Q называется кодовым доменом отношения R. Обратите внимание, что диапазон является подмножеством кодового домена. В приведенном выше примере диапазон и кодовый домен совпадают и равны {+2, -2, +3, -3, +5, -5}.

Примечание. Общее количество отношений, которые можно определить от множества P к множеству Q, равно количеству возможных подмножеств множества P × Q. Если n(P) = r и n(Q) = s, то n(P × Q) = rs и общее количество отношений равно 2 ^rs

Пример 3: Пусть P = {1, 2} и Q = {3, 4}. Найдите количество отношений от P до Q.

Решение: Имеем P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Так как n(P × Q) = 4, количество подмножеств P × Q равно 2 ⁴ , следовательно, количество отношений будет 2 ⁴ = 16