Back to the topics list

marrëdhëniet

Në matematikë hasim shumë relacione si numri m është më i vogël se numri n, drejtëza p është pingul me drejtëzën Q, grupi R është nëngrup i bashkësisë S. Në të gjitha këto, vërejmë se një relacion përfshin çifte objektesh. Në këtë mësim do të mësojmë se si të lidhim çifte objektesh nga dy grupe dhe më pas të prezantojmë marrëdhëniet midis dy objekteve në çift.

Çift i renditur: Një çift i renditur përbëhet nga dy objekte ose elemente në një rend të caktuar fiks. Për shembull, nëse P dhe Q janë dy grupe, atëherë me një çift të renditur elementësh nënkuptojmë një çift (a,b) në atë renditje, ku a ∈ P, b ∈ Q

Barazia e çifteve të renditura: Dy çifte të renditura (a,b) dhe (c,d) janë të barabarta nëse a = c dhe b = d

Produkt kartezian i grupeve

Le të jenë A dhe B çdo dy bashkësi jo boshe. Bashkësia e të gjitha çifteve të renditura (a,b) të tilla që a ∈ A dhe b ∈ B quhet prodhime karteziane të bashkësive P dhe Q dhe shënohet me P × Q

Kështu, P × Q = {(a,b) : a ∈ A dhe b ∈ B}

Për shembull, nëse P = {2, 4, 6} dhe Q = {1, 2}, atëherë

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Dy çifte të renditura janë të barabarta, nëse dhe vetëm nëse elementët e parë përkatës janë të barabartë dhe elementët e dytë janë gjithashtu të barabartë
• Nëse ka m elementë në P dhe n elementë në Q, atëherë do të ketë mn elementë në P × Q.
• Nëse P dhe Q janë dy grupe jo boshe dhe P ose Q është një grup i pafund, atëherë po ashtu është edhe P × Q

Shembulli 1: Nëse (x + 1, y − 3) = (4, 1), gjeni vlerat e x dhe y.

Zgjidhje: x + 1 = 4 pra, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, pra, y = 1 + 3 = 4

Shembulli 2: Nëse P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} dhe R = {1, 3, 5} gjeni P × (Q ∪ R)

Zgjidhje: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Prandaj, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Marrëdhëniet

Konsideroni dy grupe P dhe Q ku P ={4, 9, 25} dhe Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Ne mund të marrim një nëngrup të P × Q duke futur një lidhje R midis elementit të parë x dhe elementit të dytë y të çdo çifti të renditur (x,y) si

R = {(x,y):x është katrori i numrit y, x ∈ P dhe y ∈ Q}

Një paraqitje vizuale e këtij relacioni R (i quajtur diagram me shigjeta) është paraqitur më poshtë:

Në formën e ndërtuesit të bashkësive, R = {(x,y):x është katrori i numrit y, x ∈ P dhe y ∈ Q}

Në formën e listës, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domeni: bashkësia e të gjithë elementëve të parë të çifteve të renditura në relacionin R nga një bashkësi P në bashkësinë Q quhet domeni i relacionit R. Në këtë shembull, domeni është {4, 9, 25}.
• Gama dhe kodomaina: Bashkësia e të gjithë elementëve të dytë në një relacion R nga një grup P në grupin Q quhet diapazoni i relacionit R. E gjithë bashkësia Q quhet kodomain e relacionit R. Vini re se diapazoni është një nëngrup të kodomanës. Në shembullin e mësipërm, diapazoni dhe codomain janë të njëjta dhe të barabarta me {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Shënim: Numri i përgjithshëm i marrëdhënieve që mund të përcaktohen nga një grup P në një grup Q është numri i nëngrupeve të mundshme të P × Q. Nëse n(P) = r dhe n(Q) = s, atëherë n(P × Q) = rs dhe numri i përgjithshëm i marrëdhënieve është 2 ^rs

Shembulli 3: Le të themi P = {1, 2} dhe Q = {3, 4}. Gjeni numrin e marrëdhënieve nga P në Q.

Zgjidhje: Kemi, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Meqenëse n(P × Q) = 4, numri i nëngrupeve të P × Q është 2 ⁴ , prandaj, numri i marrëdhënieve do të jetë 2 ⁴ = 16