Back to the topics list

relationer

Inom matematiken stöter vi på många samband som att tal m är mindre än tal n, linje p är vinkelrät mot linje Q, mängd R är delmängd av mängd S. I alla dessa märker vi att en relation involverar par av objekt. I den här lektionen kommer vi att lära oss hur man länkar par av objekt från två uppsättningar och sedan introducerar relationer mellan de två objekten i paret.

Ordnat par: Ett ordnat par består av två objekt eller element i en given fast ordning. Till exempel, om P och Q är två uppsättningar så menar vi med ett ordnat par av element ett par (a,b) i den ordningen, där a ∈ P, b ∈ Q

Likhet mellan ordnade par: Två ordnade par (a,b) och (c,d) är lika om a = c och b = d

Kartesisk produkt av uppsättningar

Låt A och B vara två icke-tomma uppsättningar. Mängden av alla ordnade par (a,b) så att a ∈ A och b ∈ B kallas de kartesiska produkterna av mängderna P och Q och betecknas med P × Q

Således, P × Q = {(a,b) : a ∈ A och b ∈ B}

Till exempel, om P = {2, 4, 6} och Q = {1, 2}, då

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Två ordnade par är lika, om och endast om de motsvarande första elementen är lika och de andra elementen också är lika
• Om det finns m element i P och n element i Q, kommer det att finnas mn element i P × Q.
• Om P och Q är två icke-tomma mängder och antingen P eller Q är en oändlig mängd, så är P × Q det också

Exempel 1: Om (x + 1, y − 3) = (4, 1), hitta värdena för x och y.

Lösning: x + 1 = 4 alltså, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, därför är y = 1 + 3 = 4

Exempel 2: Om P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} och R = {1, 3, 5} hitta P × (Q ∪ R)

Lösning: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Därför är P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Relationer

Betrakta två uppsättningar P och Q där P ={4, 9, 25} och Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Vi kan erhålla en delmängd av P × Q genom att införa en relation R mellan det första elementet x och det andra elementet y i varje ordnat par (x,y) som

R = {(x,y):x är kvadraten på talet y, x ∈ P och y ∈ Q}

En visuell representation av denna relation R (kallas ett pildiagram) visas nedan:

I mängdbyggarform är R = {(x,y):x kvadraten på talet y, x ∈ P och y ∈ Q}

I listform är R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domän: mängden av alla första element i de ordnade paren i relation R från en mängd P till mängd Q kallas domänen för relationen R. I det här exemplet är domänen {4, 9, 25}.
• Omfång och Kodomän: Mängden av alla andra element i en relation R från en mängd P till mängden Q kallas intervallet för relationen R. Hela mängden Q kallas för samdomänen för relationen R. Observera att intervallet är en delmängd av codomänen. I exemplet ovan är intervall och kodomän samma och lika med {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Notera: Det totala antalet relationer som kan definieras från en mängd P till en mängd Q är antalet möjliga delmängder av P × Q. Om n(P) = r och n(Q) = s, då n(P × Q) = rs och det totala antalet relationer är 2 ^rs

Exempel 3: Låt P = {1, 2} och Q = {3, 4}. Hitta antalet relationer från P till Q.

Lösning: Vi har, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Eftersom n(P × Q) = 4 är antalet delmängder av P × Q 2 ⁴ , därför kommer antalet relationer att vara 2 ⁴ = 16